Операции с матрицами на C++. Класс DMatrix
APPLICATION OF DISTRIBUTED SYSTEM CONCEPTS
TO DYNAMIC ANALYSIS AND CONTROL OF BENDING VIBRATIONS
ПРИМЕНЕНИЕ КОНЦЕПЦИИ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ
СИСТЕМЫ
К ДИНАМИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
И КОНТРОЛЮ
ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ
DAVID R. VAUGHAN
1965
SUMMARY
ПРЕДИСЛОВИЕ
В качестве альтернативы
обычного подхода к исследованию динамики и контроля упругих летательных
аппаратов мы будем рассматривать изгибные колебания в рамках концепции системы
с распределенными параметрами с распространением и отражением. Мы будем
говорить только о тонких однородных балках. Результаты дают основу для
понимания сути изгибных колебаний, что необходимо для проектирования систем
управления летательными аппаратами.
Для поперечных колебаний
используется подход, описывающий распространение и отражение по аналогии с
уравнением Бернулли-Эйлера и волновым уравнением. Поэтому, прежде чем изучать
поперечные колебания балок, надо рассматривать решения для волн продольного
распространения.
Решение уравнения
Бернулли-Эйлера для поперечного изгиба тонкой полубесконечной балки (то есть с одним закрепленным концом – прим.
пер.) дают нам операторы распространения 
и 
, а входная (волновая) проводимость содержит операторы 
(дробная
производная) и 
(дробный интеграл).
Уравнение
Бернулли-Эйлера для вибрации при поперечном изгибе тонких однородных балок с
обоими свободными концами решено в терминах операторов распространения и волнового
сопротивления. Показано, что преобразование матриц U = W-1 Y превращает
вектор текущего состояния Y в вектор
характеристических переменных U и позволяет разложить
решение на матрицу распространения и матрицу краевого эффекта. Разложение на
две матрицы делается для того, чтобы получить аналогию с решением волнового
уравнения.
Для балок с оконечной
амортизацией или оконечным приводом могут быть построены матрицы замыкающего
сопротивления, из которых можно получить матрицы краевого эффекта (для случая
незакрепленных концов) с помощью простых алгебраических преобразований.
Матричное соотношение между характеристическими переменными падения и отражения
(U) рассматривается как обобщение коэффициента
отражения у линий электропередач. В частности, показано, что данная матрица
отражения тождественно равна нулю, если матрицы замыкающего и волнового
сопротивления равны между собой.
Рассмотрены некоторые
специальные матрицы замыкающего сопротивления, а также реакция на команды и
нагрузки, как в разрезе времени (аналоговая симуляция), так и в разрезе частот.
Попытка связать поведение данных систем с их матрицами отражения увенчалась
лишь частичным успехом. Построена матрица, описывающая отражение и преломление
характеристических переменных каскада из двух однородных балок; показано, что
она содержит только действительные элементы.