Математические  статьи  +  переводы

 


 

А. Б. Сосинский. Как написать математическую статью по-английски.

М: Изд-во «Факториал Пресс», 2000. — 112 с. ISBN 5-88688-032-1

 

В пособии излагаются основные принципы перевода математических текстов на английский язык. Книга выдержала несколько изданий. Работа с ней позволяет достичь уровня владения английским языком, способного обеспечить практическое использование его в профессиональной деятельности.

Для студентов и аспирантов математических специальностей университетов, институтов, а также всех изучающих язык самостоятельно.

 


 

СОДЕРЖАНИЕ
 

Предисловие

4

 
Глава I. Как не надо

§1.

Авторский перевод

7

§2.

Перевод «профессионального переводчика»

11

§3.

Авторский перевод с редактированием

12

§4.

*

Подборка характерных ошибок

13

 
Глава II. Общие принципы

§5.

Главное — не переводите, а пересказывайте!

17

§6.

Ещё раз о пословном переводе

20

§7.

Математические штампы

21

§8.

*

Термины, характеристики, ссылки

24

§9.

Термины как объекты и понятия: артикли

26

§10.

*

Артикли: аксиоматический подход

29

§11.

Разделители, составные конструкции и запятые

32

§12.

Рекурсивные конструкции

35

§13.

Вводные выражения

37

§14.

Долой отглагольные существительные!

39

§15.

Долой it, which, whose и that!

42

§16.

*

А всё-таки: когда which, когда that?

43

§17.

Пять способов борьбы с предлогом of

44

§18.

*

Глаголы и времена глаголов

47

§19.

*

О докладах и лекциях

48

§20.

Напутствие

50

 
Глава III. Конкретные обороты

§21.

Как дать определение

52

§22.

Как начать изложение теории (доказательства) и ввести обозначения

59

§23.

Как сформулировать теорему

63

§24.

Как комментировать вычисления

65

§25.

Как вводить алгебраические структуры

68

§26.

Как описывать соответствия, отображения и функции

69

§27.

Как описывать топологические и геометрические построения

72

§28.

Комментарии и ссылки

74

§29.

Введение к статье

77

 
Приложения

I.

Список математических штампов

79

(A) Основные штампы

79

(B) Модификации основных штампов

81

(C) Определения и обозначения

84

(D) Вычисления

85

(E) Алгебра

87

(F) Соответствия и отображения

88

(G) Геометрия и топология

90

II.

Список вводных выражений и идиом

92

III.

Список конструкций с предлогами

95

IV.

Образец математического текста

107

V.

Ответы к упражнениям

  109

 


 

 

"Well", said Owl, "the customary procedure in such cases is as follows."

"What does Crustimoney Proseedcake mean?" said Pooh. "For I am a Bear of Very Little Brain, and long words bother me."

"It means the thing to do."

A. A. Milne

 

— Ну, — сказала Сова, — обычная процедура в таких случаях нижеследующая ...

— Что значит Бычья Цедура? — сказал Пух. — Ты не забывай, что у меня в голове опилки и длинные слова меня только огорчают.

— Ну, это означает то, что надо делать.

Б. Заходер

 

 
ПРЕДИСЛОВИЕ
 

 

Эта небольшая книга предназначена в первую очередь для русскоязычных математиков и отвечает на поставленный в её названии вопрос. Автор убеждён, что любой русскоязычный математик, проработавший её, сможет после этого написать английский текст своей очередной математической работы, пригодный для публикации в западном журнале или сборнике, даже если он до этого «совсем не знал» английского языка (например, изучал в школе немецкий). Я предполагаю, правда, что читатель владеет в какой-то мере терминологией в своей области и что ему приходилось разбирать (пусть со словарём) статьи на английском языке по своей специальности.

Другой важной предпосылкой успешного использования этой книги является готовность читателя творчески подойти к языковым вопросам, готовность пользоваться «математической частью» своих мозгов не только для доказательства теорем, но и для создания текста, описывающего эти доказательства. В этом отношении особенно трудно будет читателю, считающему, что он неплохо знает язык, легко понимающему статьи по специальности и книжки Агаты Кристи, получавшему пятёрки по английскому языку в школьные, студенческие и аспирантские годы.

Такому читателю будет очень трудно избавиться от ошибочных стереотипов псевдо-грамматического мышления, характерного для обучения Moscow English, которому он столько лет подвергался. «Ломке стереотипов» посвящена вся первая глава книги («Как не надо») и, в какой-то степени, вторая глава («Общие принципы»). Читатель тщетно будет искать среди общих принципов грамматические правила английского языка. Подчеркну, что книга никоим образом не является ни учебником английского языка, ни учебником английского математического языка, ни даже пособием по переводу математических текстов — она преследует узкую, практическую цель: научить писать математические статьи по-английски 1 по придуманной мною методике. Основные идеи этой методики и изложены во второй главе.

Третья же глава содержит описание конкретных оборотов, используемых в тех или иных математических ситуациях. Книга завершается тремя приложениями справочного характера, позволяющими читателю в процессе написания статьи быстро найти нужный ему оборот или строение фразы. Есть и четвёртое приложение: образец математического текста, написанного по нашей методике.

Звёздочка после номера параграфа означает, что его можно опустить при первом чтении.

Хочу отметить, что предлагаемый здесь подход — крайне нетрадиционен и, по-видимому, противоречит всем представлениям читателя на сей счёт. Не лишним поэтому будет краткое описание истоков предлагаемой методики. Автор, выпускник Нью-Йоркского и Московского университетов, математик-исследователь по специальности, одинаково хорошо (или плохо) владеет английским и русским языками, вот уже 30 лет переводит математические книги и статьи с русского на английский (для западных издательств), а в настоящее время возглавляет службы переводчиков в серии русско-английских математических переводов под эгидой Американского Математического Общества. Описанный здесь подход разработан исходя из этого опыта, а также основан на работах автора по компьютерной лингвистике (машинному переводу).

Я благодарен В. Борщеву, инициатору идеи написания этой книги, Б. Комракову, постоянно подталкивавшему меня в работе над ней, Б. Амосову за ТеХредовскую работу, Н. Кульману за конструктивную критику, и особенно М. Виноградову за моральную и ТеХническую поддержку.

В течение тридцати лет жизни в Москве автора постоянно преследовали его коллеги, друзья и знакомые с просьбами о переводе их статей на английский (или, что ещё хуже, о редактировании переводов). Этим невольным вдохновителям и соавторам (особенно я им обязан за первую главу) и посвящается эта книга — with a vengence. Теперь, когда она выйдет, на новые просьбы о переводах у меня будет ответ: «Вот есть книга — купите её!»

 

 
Глава I. КАК НЕ НАДО
 

 

В этой главе автор пытается помочь читателю освободиться от ошибочных стереотипов, связанных с изучением Moscow English, и объективно оценить свои познания в английском математическом языке.

 

§1. Авторский перевод

 

Чаще всего автор статьи, имея за плечами малоуспешный, но зато многолетний опыт изучения английского языка (в школе, в вузе, в аспирантуре), часто читая литературу по своей специальности на английском, отваживается самостоятельно перевести свою статью. Перед ним русский текст статьи, общелексический русско-английский словарь, ручка и бумага. Вводная часть статьи даётся с трудом (приходится много смотреть в словарь), но затем начинается основной математический текст и дело спорится. Фраза за фразой, слово за словом рождается английский текст, удовлетворяющий автора.

Однако, как правило, результат катастрофически плох.

Вводная часть, в лучшем случае, вызовет у рецензента, англоязычного математика, ироническую улыбку, а основной текст он быстро перестаёт читать: какую-то часть неуклюжих конструкций ему удаётся понять, но в других местах смысл ускользает, местами он натыкается на чушь или очевидные математические ошибки, и только если он очень заинтересован (например, знает, что автор — математик высокого класса), рецензент дойдёт до расшифровки основных результатов.

Автор получает вежливый отказ: «Your paper seems to be interesting, but your English requires revision by a native English-speaking mathematician».

Чтобы не быть голословным, попробую привести конкретный пример. Представим себе, что статья содержит следующий кусок текста:

Назовём допустимым узлом PL-вложение  f : R1R3, если образ  f (R1) асимптотически стремится к прямой x=y=z при t→±∞, tÎR1. В дальнейшем рассматриваются только допустимые узлы. Каждому (допустимому) узлу мы ставим в соответствие элемент If ) группы когомологий H1(E) пространства E функций ограниченной вариации, которое определено ниже.

Наш среднестатистический автор переведёт этот текст примерно следующим образом:

Let us call the admissible knot a PL-embedding  f : R1R3, if an image  f (R1) asymptotically tends to a line x=y=z for t→±∞, tÎR1. In the further text considered only are the admissible knots. To every (admissible) knot we put in correspondence the element If ) of a cohomology group H1(E) of the space of the functions of bounded variation, which is defined below.

Упражнение 1. He заглядывая дальше, внимательно прочитайте этот перевод, отметьте ошибки, посчитайте их, укажите, как их надо исправить, и оцените уровень перевода.

Если перевод в целом вам показался «приличным», то ваш собственный уровень как переводчика ниже всякой критики: дело в том, что предложенный перевод как раз «катастрофически плох». В его трёх фразах я насчитал 20 ошибок, в том числе 3 грубые смысловые ошибки, 10 неправильно поставленных артиклей, 1 неправильно выбранный союз, 1 лишняя запятая, 3 несуществующих оборота и 1 стилистическая ошибка. Орфографических, грамматических и терминологических ошибок нет.

Разберём ошибки подробнее. Сначала смысловые. Первое предложение основано на кальке с русской конструкции назовём так-то что-то, если ..., не имеющей аналога в английском языке; в результате в английском тексте определяемое понятие — не admissible knot, a PL-embedding, в то время как по смыслу должно быть наоборот. Проще всего перевод исправить так: Let us call a PL-embedding  f : R1R3 an admissible knot if ..., хотя на самом деле и этот оборот не очень хорош. О том, как лучше давать определения по-английски, сказано в § 21.

Вторая смысловая ошибка (менее существенная) относится ко второй фразе: в результате «не английского» порядка слов слово considered подчиняется слову text, а не слову knot (рассматривается текст, а не узлы). О порядке слов см. §§ 6 и 14.

Третья смысловая ошибка связана с «потерей управления» при переводе котороеwhich. В русском тексте которое (средний род) замещает существительное среднего рода пространство, в то время как по-английски which (не имеющее рода) можно отнести как к слову space, так и к словам group и element. О том, как бороться с ошибками, связанными с употреблением слова which, см. § 15.

Теперь об артиклях. Они все поставлены неверно. Всюду, где a — требуется the. Все the (кроме двух, стоящих перед словами functions и admissible, где артиклей вообще не нужно) следует заменить на a. Правильному употреблению артиклей в математических текстах на самом деле не так трудно обучиться, как многие думают. Этой теме посвящены §§ 9, 10 главы II.

О других ошибках. В первом предложении for нужно заменить на as, перед if убрать запятую. Во втором используется несуществующий оборот 2 In the further text, а далее выбран неправильный порядок слов. Второе предложение можно перевести, например, так: In the sequel, only admissible knots are considered. В третьем предложении содержится то, что мы назвали «стилистической ошибкой» — четырёхкратное наслоение союза of (как бороться с многократными of, рассказано в § 17).

В этом же предложении есть ещё один неанглийский оборот we put in correspondence (можно, например, we assign; в § 25 рассказано, как описывать построение соответствий и отображений). Запятая перед which — лишняя (о запятых в английском математическом тексте сказано в § 11, а также в § 16*).

Теперь читатель может подвести итог и оценить свой уровень. Если вы нашли 17 или более из указанных 20 ошибок и сумели их (хорошо) исправить, то вам эта брошюра не очень нужна. Уровень от 11 до 17 ставит вас как переводчика несколько выше среднего русскоязычного математика; я советую внимательно пролистать эту книгу, останавливаясь лишь там, где вы это сочтёте нужным, а затем пользоваться ей как справочником. Если ваш уровень 10 и ниже, эта книга — для вас; советую подробно (с карандашом и бумагой, выполняя упражнения) проработать следующую главу.

В некотором смысле положение читателя, очень плохо справившегося с первым упражнением, здесь предпочтительно: он не отягощён ненужными представлениями о «грамматике английского языка» и другими вредными последствиями изучения Moscow English, ему легче будет принять предлагаемую нами методику написания статей. Как указано во введении, пользуясь этой книгой, хороший математик, совсем не знающий язык (но знакомый со специальной терминологией в своей области), сможет написать вполне приличный текст своей работы по-английски.

С другой стороны, наша цель только в этом и состоит: эта книга не ставит себе более общих целей, в частности, не является ни учебником английского языка, ни учебником английского математического языка, ни даже пособием для переводчиков математических текстов (хотя и может оказаться им полезной).

 

§2. Перевод «профессионального переводчика»

 

Иногда авторы математических текстов обращаются за помощью к местным «профессиональным переводчикам», выпускникам наших инязов и гуманитарных факультетов. Как правило, это люди, имеющие опыт перевода «в другую сторону» (англо-русский перевод технического текста, выполняемый на неплохом уровне), но не имеющие опыта работы (обратной связи) с западными англоязычными издательствами, и поэтому искренне заблуждающиеся в оценках своих возможностей в русско-английском переводе.

При этом результат обычно получается хуже среднего авторского — нарушена одна из основных аксиом перевода: переводчик не понимает смысла переводимого текста. Гуманитарный человек, естественно, не улавливает семантику исходной математической фразы и выполняет перевод «пословно», перемежая его английскими идиомами (часто невпопад) и сложными грамматическими оборотами, столь популярными в инязовском преподавании, но неуместными в математических текстах.

Приведу пример «из жизни»:

We see that an algebraic manifold V is the linearly connected compact. Call the primitive manifold V the solution set of the irreducible algebraic equation or system. (...) The right member rises to vertical action in the fibre space...

Можно, конечно, смириться с тем, что здесь имеются четыре терминологические ошибки (нужно variety вместо algebraic manifold, arcwise вместо linearly, compact set вместо compact, lifts вместо rises) — их может исправить автор. Но вряд ли автор исправит артикли в первом предложении (оба неверны!) и поэтому не заметит грубую математическую ошибку (ведь там сказано, по существу, что все алгебраические многообразия компактны!). И во второй фразе он скорее всего доверится переводчику и не поставит под вопрос несуществующую конструкцию (call the ... the ...); англоязычный же читатель не поймёт, какой термин определяется — primitive manifold или solution set? Что же касается третьей фразы, то автор вряд ли станет её править, а любой американец расхохочется в голос, читая её. Дело в том, что русская фраза Правая часть поднимается до вертикального действия в расслоении ... вполне безобидна, в то время как соответствующая английская калька совершенно неприлична, вследствие неудачного (но формально правильного) перевода частьmember и ошибочного перевода поднимаетсяrises.

Не все профессиональные переводы, конечно, столь неудачны. В больших математических центрах бывшего СССР имеются вполне квалифицированные переводчики математических текстов на английский язык, занимающиеся этим ремеслом достаточно успешно. Но их немного, и, главное, они, как правило, работают на западные издательства за западные гонорары, и потому их труд не по карману даже российским академикам.

 

§3. Авторский перевод с редактированием

 

Значительно более разумный подход к решению задачи математического перевода — самому перевести свою статью, а затем дать её редактировать человеку, «знающему английский язык». Это даёт удовлетворительный результат при условии, что редактор подобран удачно.

Категорически не следует обращаться для этой цели к выпускникам наших языковых вузов или факультетов: они хотя и могут где-то внести разумную стилистическую и грамматическую правку, но не заметят ваших смысловых ошибок и могут внести свои, новые. Естественные носители английского языка, не знающие математики, тоже плохо сделают эту работу.

Идеальный редактор — англоязычный коллега, специалист в вашей области. Если уровень вашего перевода достаточно высок, он сможет «подчистить» статью заочно, без вашей помощи, однако скорее всего ему потребуется обратная связь. Так или иначе, в наши дни, когда поездки «конвертируемых математиков» (выражение С. П. Новикова) стали обычным явлением, такой способ бывает доступен. Но всё же лучше создать хороший английский текст самому. Это не так трудно — читайте главы II и III.

 

§4*. Подборка характерных ошибок

 

Здесь приводится список наиболее часто встречающихся ошибок при переводе математических текстов, основанный на моём печальном 30-летнем опыте чтения и редактирования таких опусов. Этот параграф читать сейчас не обязательно, если вы готовы обучаться по предложенной методике. Если же, прочитав § 1, вы всё ещё сомневаетесь в оценке уровня своего перевода, чтение настоящего § 4 очень рекомендуется. Возможно, при этом вам придется выполнять упражнения дважды (второй раз после проработки глав II и III).

Список мы даём в виде конкретных примеров, сразу на английском языке. Читатель легко восстановит русский оригинал каждой фразы (пословным обратным переводом). Сразу после примера мы поясняем, в чём состоит ошибка. (Закрывая эти пояснения подвижным листком бумаги, читатель может попробовать самостоятельно найти эти ошибки — это полезное, но не обязательное упражнение.)

1) Let G is an Abelian group. Не is, a be (позорная, но часто встречающаяся ошибка!).

2) Let B has the singularity in the point vÎV. Не has, a have; не the, а a; не in, а at.

3) Suppose that the sequence {an} tend to A when n→∞. Не tend, a tends; не when, а as.

4) Now we can to prove the Theorem 3.5. He нужно ни to (грубейшая ошибка!), ни the (это более тонкий вопрос).

5) То establish Lemma 2.1, we must to prove (2.5). Не нужно второго to!

6) We now prove the Lagrange's theorem. Так нельзя обращаться с 's; нужно либо the Lagrange theorem, либо Lagrange's theorem (без артикля).

7) There is a strong algebraic geometry school in the Moscow. Убрать этот кошмарный the перед именем собственным!

8) Now we use the singular homology theory of the space ΛkX which will be constructed in section 3. Which — это что? Что будет constructed — теория или само пространство ΛkX? Если по-русски было которая — значит, теория, и тогда вместо «which» можно написать «this theory».

9) Take any element xÎX, such that x>x0. Запятая лишняя (грубая ошибка).

10) Suppose G is the group, that was considered in § 2. Опять лишняя запятая!

11) Therefore we must suppose that there is the necessity of generalization of the method of bifurcation diagrams of  V. I. Arnold. Нельзя так много оf 'ов и столько бессодержательных существительных! Нужно проще, например: Hence V. I. Arnold's bifurcation diagram method must be generalized. Заметим, что исходная русская фраза (которая лично мне очень не нравится) вполне характерна для наших математических текстов и у большинства читателей не вызовет раздражения: Таким образом, мы приходим к выводу о необходимости обобщения метода бифуркационных диаграмм В. И. Арнольда.

12) For  f  take the constructed previously function φ2,1. Нелогичный (не английский) порядок слов. Нужно: For  f , take the function φ2,1 constructed previously. Или: Take the function φ2,1, constructed previously, for  f .

13) The set {a1, ..., an} generates in the complex case the demanded subalgebra. He английский порядок слов («прямое дополнение должно идти сразу после глагола»), вместо demanded нужно required. Можно так: In the complex case, the set {a1, ..., an} generates the required subalgebra.

14) There exists the unique xÎR such that  f (x) = y. Увы, здесь вместо the нужно a (хотя это может вам показаться нелогичным!).

15) Suppose x is a point in the Euclidean space. Опять the не нужен.

16) We remind that X is compact. Этот remind здесь ужасен! Нужно recall.

17) Glue the handle H to the boundary of W. Гораздо лучше не glue, а attach.

18) W1 is the space of generalized functions. Англоязычные математики как правило не признают выражения generalized functions, которое встречается в основном в статьях, переведённых с русского. Нужно distributions.

19) Let a be a proper vector of the operator А. Никаких proper vectors по-английски не бывает, а бывают eigenvectors, а также eigenvalues.

20) A Mersenne number is a simple number of the form ... Нужно не simple, а prime. Но зато простая группа переводится simple group. Нужно знать терминологию!

21) Let K be a compact in Rn. Слово compactвсегда прилагательное! Здесь нужно compact set или compact subset.

22) Тhe elder coefficient is nonzero. Вместо elder (буквальный перевод слова старший) нужно leading.

23) Let V be a variety of the finite dimension. The здесь недопустимо — в этом месте никакого артикля не нужно!

24) Consider the extension of  f  on X. Нужно не on, а to.

25) The space X is linearly connected. Такого термина нет: вместо linearly нужно arcwise.

26) In this paragraph we prove some auxilliary lemmas. Paragraph — это вовсе не параграф, а абзац. Здесь нужно section или subsection.

27) Let us introduce the following notations. Здесь нужно notation (в единственном числе), даже если вы будете вводить очень много разных обозначений.

28) This theorem is well-known. Здесь нужно well known (без дефиса), в отличие от фразы This well-known theorem is proved in [3], где well-known является прилагательным (характеристикой, см. § 8).

29) The definition of multiplication is correct. Слово correct означает правильно, а не корректно. Нужно The product is well defined.

30) We have to prove that F is compact. Намного лучше we must prove; have to prove означает что-то вроде мы вынуждены доказать.

31) Then n equals to 5. Можно n equals 5 или n is equal to 5, но ни в коем случае нельзя equals.

32) So A is linear; it means that ... Не it, а this. Слово it относится к объектам, а this к утверждениям («ссылкам», см. § 8).

Упражнение 2. Переведите на английский язык.

1) Пусть x — точка плоскости.

2) Рассмотрим гиперплоскость в пространстве Rn, которая содержит точки a1, ..., an.

3) При n→∞ последовательность { fn(x)} стремится к нулю в точке x=x0.

4) Мы можем доказать эту гипотезу только для самосопряжённых операторов.

5) Применим масловский метод комплексной фазы.

6) Множество X — компакт.

7) В этой ситуации целесообразно искать возможность распространить метод сеток поиска приближённого решения уравнений в частных производных второго порядка квазиоднородного типа на более общий случай уравнения (3.7).

8) Предположим, что группа G разрешима.

 Ответ 

1) Let x be a point of the plane.

2) Consider the hyperplane in Rn which contains the points a1, ..., an. [Вместо which лучше that, см. § 16*.]

3) At the point x=x0 the sequence { fn(x)} tends to zero as n→∞.

4) We can prove this conjecture only for selfadjoint operators. [Здесь hypothesis вместо conjecture — ошибка!]

5) Let us apply Maslov's complex phase method.

6) The set X is compact. Или: X is a compact set.

7) In this situation, the lattice method for finding approximate solutions of second order partial differential equations of quasihomogeneous type can be generalized to the case of equations (3.7).

8) Assume that the group G is solvable.

 

 
Глава II. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
 

 

В этой главе, минуя традиционную «грамматику английского языка», мы объясняем основные идеи, лежащие в основе предлагаемой книги.

 

§5. Главное — не переводите, а пересказывайте!

 

Основная идея предлагаемой методики — не переводить русский текст статьи, а излагать свою работу непосредственно на английском языке, пользуясь только теми оборотами и конструкциями, в которых вы уверены.

Замечательное свойство математических текстов постбурбаковской эпохи состоит в том, что любая математическая теория излагается с помощью очень ограниченного набора стандартных оборотов.

Сколько нужно знать таких оборотов? Отвечаю по-английски: that depends. Например, начиная читать (по-английски) факультативный спецкурс в МИЭМе для студентов, от которых не требовалось знания английского языка, автор в течение первого получаса пользовался только тремя оборотами:

áтерминñ [.],

áтерминñ is а áтерминñ [.],

áтерминыñ are áтерминыñ [.],
четырьмя вводными словами (suppose, then, here, further), четырьмя разделительными выражениями (such that, if, and, where), одной присказкой (Is that clear?) и одним универсальным ответом на все вопросы (Never mind).

Начало лекции выглядело примерно так:

Definition. A manifold is a pair (M, A), where M is a topological space and A is an atlas; here an atlas A is a set A = { fα: Uα Rn} such that

  (i) Uα Ì M is an open set;

 (ii)  fα is a homeomorphism;

(iii) 

U

 Uα = M.

αÎJ

Examples:

1) M is Rn and A = {id: RnRn}.

2) M is a sphere S n and

A = {pi: S nniRin, i=1, 2};

 

here p1, p2 are stereographic projections.

(Здесь на доске была нарисована соответствующая картинка.)

Is that clear?

Definitions. Suppose (M, A) is a manifold and α, β Î J; then  fα○ fβ–1 = tα,β is a transition function. Further, (M, A) is a smooth manifold, if " α, β Î J, tα,β Î C(Rn), where C(Rn) = { f : RnRn |  f  is an infinitely differentiable map}.

Suppose ...

Далее лекция продолжалась в том же духе. В конце первого получаса формулировалась (в пределах всё того же скудного языкового материала) теорема Уитни:

Theorem [Whitney, 1921]. Suppose M is a smooth manifold and dim M = n. Then there is a smooth embedding NR2n+1 such that M and N are diffeomorphic manifolds.

Конечно, пользуясь всего тремя оборотами (а, по существу, практически одним!), далеко не уедешь. В том спецкурсе, разумеется, репертуар используемых оборотов постепенно расширялся, но в первых трёх лекциях не превысил полутора десятков.

Чтобы написать приличный текст статьи, обычно можно обойтись 20–50 повторяющимися конструкциями, если их разбавлять достаточным (более 20) количеством вводных слов и выражений. Если ваш активный репертуар оборотов невелик, вам придётся затратить больше математических усилий, загоняя то, что вы хотите сказать, в рамки скудного запаса выразительных средств. Текст получится несколько однообразным, но зато понятным. (Кстати, в этой ситуации процесс его подготовки иногда способствует нахождению математических ошибок.)

Если ваш репертуар оборотов основателен, думать по существу придётся меньше, работа пойдёт быстрее, текст получится более разнообразным. Но здесь таится опасность — если оборотов очень много, теряется чёткая уверенность в их правильности, появляются несуществующие конструкции (обычно кальки с русского, которые, как вам ошибочно кажется, вы где-то видели по-английски).

Число необходимых (и достаточных) оборотов зависит также от характера излагаемого математического материала: если в основном проводятся вычисления и преобразования формул, то конструкций нужно совсем немного, в алгебре или теории категорий их нужно побольше, сложней приходится в геометрии, геометрической топологии и математической физике.

В этой книге приводится более 100 стандартных оборотов. Нет необходимости их все запоминать, достаточно освоить штук 20–30 основных и к ним добавлять «по вкусу» ещё столько же, выбирая их в зависимости от тематики вашей работы.

Прежде чем перейти к более формальному описанию того, что мы назвали стандартными оборотами, мы хотим подчеркнуть некоторые принципиальные различия между русским и английским языком.

 

§6. Ещё раз о пословном переводе

 

Одно из главных различий между русским и английским языками — наличие падежей в первом и их отсутствие во втором. Другая важная особенность русского языка, отличающая его от английского, — это большая изменяемость слов (суффиксы, окончания, спряжение) по числу, роду, падежу и пр.

Это два обстоятельства придают русскому языку бóльшую гибкость, бóльшую свободу в управлении, позволяют разнообразить порядок слов и придаточных предложений. Напротив, в английском порядок слов (и частей фразы) значительно более жёсткий — чаще всего английское предложение в научном тексте строится по схеме:

вводное слово → подлежащее → сказуемое →
→ прямое дополнение → другие дополнения

 

К тому же английский язык более активный, он очень плохо переносит отглагольные существительные и бессодержательные слова-заполнители, конструкции вроде «появляется возможность рассмотрения», «настоятельная необходимость построения методов исследования» и т.п.

Эти языковые особенности приводят к тому, что при пословном переводе русского математического текста на английский (при полном соблюдении так называемых «правил грамматики английского языка») получается чрезвычайно тяжеловесный, в сущности нечитаемый, не английский текст. Более того, как мы видели выше, часто «теряется управление», и как следствие возникают серьёзные смысловые ошибки.

При желании оставаться как можно ближе к русскому тексту, в частности, соблюдать общую структуру фразы и, по возможности, порядок слов, приходится передавать функции падежных окончаний каким-то другим грамматическим механизмам, свойственным английскому языку. Основной используемый механизм — употребление словечек (предлогов), в частности of, in, on, at, for, under, from over.

Эти словечки должны появляться и при переводе русских предлогов (в, на, от, при, для, под, над). Трудность здесь состоит в том, что человек, не являющийся носителем английского языка, не знает, какие именно «словечки» нужны в той или иной ситуации. Почему-то по-английски говорится under the mapping, но as n→∞, в то время как по-русски здесь в обоих случаях при, группа преобразований переводится как transformation group, а вот система уравнений — как system of equations. Как постичь это нелёгкое искусство? Неужели для написания хорошего математического текста нужно держать в памяти тысячи и тысячи конкретных правильных конструкций с предлогами?

К счастью, без этого можно обойтись. В используемых нами оборотах мы избегаем, по возможности, конструкций с предлогами, обходясь более простыми построениями. Наиболее часто употребляемые обороты с привлечением предлогов (например, словосочетание ограничение на пространство) сведены в специальное дополнение (Приложение III). Кроме того, порядок слов в предлагаемых здесь оборотах — вполне английский, в них отсутствуют «управляющие связи» между различными частями предложений (см. по этому поводу § 15).

Итак, не перевод, а пересказ. А пересказ основывается на стандартных оборотах — штампах.

 

§7. Математические штампы

 

Математический штамп — это заготовка для создания однотипных математических высказываний; заготовка состоит из текста с пробелами для переменных слов (или словосочетаний); заполняя эти пробелы словами надлежащего типа, вы можете превращать штамп в конкретные математические высказывания.

Предъявляя штамп, мы будем указывать в угловых скобках тип переменных слов (словосочетаний), которые можно вставить в каждый пробел. Например, один из самых ходовых штампов

THE áтерминñ IS áхарактеристикаñ

 

имеет два пробела, типа термин и характеристика, и порождает такие математические обороты как

The function  f  is continuous.

The manifold M is smooth.

Мы различаем всего три типа переменных слов (словосочетаний): кроме двух названных бывают ещё и ссылки. Тип ссылка появляется, например, в таком популярном штампе:

áссылкаñ FOLLOWS FROM áссылкаñ

 

Он порождает, например, такие обороты:

Theorem 2.1 follows from Poincaré duality.

The last statement follows from Lemma 3.2.

Приведём ещё несколько часто встречающихся штампов, вместе с примерами их заполнения.

FOR ANY áтерминñ THERE EXISTS А áтерминñ

 

For any natural number there exists a successor.

For any projective space RPn there exists a smooth embedding RPn Ì R2n.

Целую серию штампов можно получить на основе бинарных отношений, таких как is, has, gives, is contained in, is isomorphic to, coincides with, generates, contains, spans и т.д.

Например,

THE áтерминñ CONTAINS A áтерминñ

 

The algebra sl(n) contains a primitive subalgebra.

The space X contains a dense ε-net.

В штампе может быть и более двух переменных слов, как, например, в популярном в алгебре штампе

THE SET OF ALL áтерминыñ IS A áтерминñ
WITH RESPECT TO THE
áтерминñ

 

The set of all integers is a group with respect to the sum operation.

The set of all square integrable functions is a Banach space with respect to the norm || f || = ( f dx)1/2.

В роли переменного слова могут выступать математические символы или формулы, например,
For any x
Î(0, 1) there exists а y>x,  yÎ(0, 1).
(I)
Þ (II)  follows from (2.7).

Имеются штампы, в которых некоторые пустые места обязательно должны заполняться символами, например,

DENOTE BY áсимволñ ANY áтерминñ

 

Denote by x any element of X.

Denote by r any positive number.

Закончим этот краткий список штампов примером, часто используемым при формулировке определений. Мы видели, что определения — тонкое место, в котором русскоязычный автор чаще всего использует «лже-штампы» — придуманные им самим английские кальки русских конструкций, неловко звучащие или непонятные англоязычному читателю. Приведём пример «хорошего» штампа:

ANY áтерминñ IS CALLED áхарактеристикаñ

 

Any element xÎK+ is called positive.

Any map  f ÎC(Rn, Rm) is called smooth.

В заключение этого параграфа — два замечания.

Первое. Часть приведённых штампов чаще всего появляется не самостоятельно, а как часть более сложных конструкций. Например, последние два штампа естественно продолжаются так:
Denote by G any group such that ...
Any map
i: XX is called involutive if ...

Мы не предлагаем в этой книге никаких длинных штампов; длинные фразы можно получить, комбинируя наши короткие штампы с помощью так называемых разделителей. Об этом рассказано в § 11.

Второе. Читатель, возможно, заметив артикли, появляющиеся в некоторых штампах, задавал себе вопрос — почему the, а не a (или наоборот)? Этот вопрос мы обсудим в §§ 9–10.

Упражнение 3. Используйте каждый из штампов §7 для создания математического высказывания по вашей специальности.

Упражнение 4. Перескажите по-английски следующий математический текст, используя только обороты, основанные на семи штампах, указанных выше, вводные слова suppose, then и слова-разделители such that, if, where.

Пусть k: S 1R3гладкий узел. Обозначим через φ отображение S 1G(1, 3), посылающее каждую точку sÎk(S 1) в прямую, параллельную касательной к k(S 1) в точке s. Рассмотрим элемент σÎπ1(G(1, 3)), порождённый путём φ(k(S 1)). Пусть этот элемент не тривиален.

Не требуется буквальный, близкий к тексту перевод, а только пересказ, передающий смысл текста.

 Ответ 

Suppose k: S 1R3 is a smooth knot. Denote by φ the map S 1G(1, 3) such that for any point sÎk(S 1) the image φ(s) is the line parallel to the tangent to k(S 1) at the point s. Denote by σ the element of π1(G(1, 3)), where σ is generated by the path φ(k(S 1)). Suppose this element is nontrivial.

 

§8. Термины, характеристики, ссылки

 

Как было сказано в предыдущем параграфе, в штампы вставляются переменные слова, разбитые нами на три типа. Эти типы (термин, характеристика, ссылка) — нечто вроде частей речи математического текста.

Характеристики — это слова или словосочетания, исполняющие роль прилагательного, уточняющие (сужающие, характеризующие) смысл математического понятия. Примеры: continuous, Jordan integrable, abelian, decreasing, associative, k-connected, admissible, hyperelliptic, Banach, stable in the sense of Lyapunov, arcwise connected, self-contradictory, asymptotically stable и т.п3

Термины — это главные действующие лица математической теории, исполняющие роль существительных. Например: set, function, smooth manifold, Banach space, foliation, linear differential equation of the second order, point, element of G, x-axis, zeta-function, small category, G-structure, K(π, n)-space, multiple integral, CW-complex, Chebysheff polynomial.

Термины обычно снабжаются артиклями, но этот важный вопрос обсуждается отдельно в § 9.

Ссылки появляются, когда мы комментируем математический текст, они обычно играют роль существительных, но обозначают не объекты теории, а её высказывания или куски высказываний; выражаясь высокопарно, можно сказать, что они относятся скорей к метаматематике, чем к математике. Примеры: the proposition, Theorem 2.1, the previous lemma, Hilbert's method, the WKB method, КAM theory, the paper [3] и т.п.

Одно и то же английское слово иногда можно отнести к двум (если не к трём) разным типам (в нашем смысле). Так, слово proposition может быть как термином (в математической логике), так и ссылкой (see Proposition 3.7), слово integral является и термином, и характеристикой.

Упражнение 5. Определите тип (термин, характеристика, ссылка) выделенных слов в следующем тексте.

Пусть Xi: Ω → Rслучайная величина на (Ω, F, P), измеримая относительно σ-алгебры Ai Ì F, i=1, 2, и пусть α(A1, A2) = α. В силу Теоремы 2 соотношение (3) можно заменить неравенством

|cov(X1, X2)| ≤ 15α||X1||·||X2||.

 

Более того, существуют вероятностное пространство (Ω, F, P) и такие случайные величины Yi, что ...

 Ответ 

Случайная величина — термин,
измеримая — характеристика,
σ-алгебра — термин,
Теорема 2 — ссылка,
неравенством — термин,
вероятностное пространство — термин,
случайные величины — термин.

 

§9. Термины как объекты и понятия: артикли

 

Термины в математических текстах бывают двух сортов — понятия и объекты. В английских математических текстах понятия снабжаются артиклем a, а объекты — артиклем the. Вы будете правильно ставить артикли перед терминами, если научитесь различать объекты и понятия. А это совсем просто (для математика, понимающего создаваемый им текст).

Математический объект — это термин (слово или словосочетание), который был ранее зафиксирован или который однозначно определён контекстом.

Математическое понятие — это термин (слово или словосочетание), описывающий целый класс объектов, или представитель такого класса, фиксируемый в данный момент.

Так, в предложении «Группа Γ0, рассмотренная в § 3, не проста» словосочетание группа Γ0 — объект (ранее зафиксирован). В предложении же «(Zn, +) является группой» слово группа — понятие (класс объектов). В предложении «Число P=max {ai} положительно» словосочетание число P — объект (однозначно определён контекстом). А в предложении «Выберем такое число nÎN, что n» словосочетание число nÎN — понятие (выбираемый в данный момент представитель класса).

Поэтому при пересказе этих четырёх фраз артикли расставляются так:

The group Γ0 considered in § 3 is not simple.

(Zn, +) is a group.

The number P=max {ai} is positive.

Choose a number nÎN such that n>π.

Упражнение 6. Определите, какие термины — объекты, какие — понятия, и перескажите следующие предложения по-английски.

1) Поле вычетов Z5 не является алгебраически замкнутым.

2) Значение функции  f (z) = 1/(iz) при z=2чисто мнимое.

3) Степенной ряд вида ∑ anzn может расходиться.

4) Функция w=1/z порождает инверсию.

 Ответ 

Поле вычетов Z5 — объект,
значение функции — объект,
степенной ряд — понятие,
функция
w=1/z — объект,
инверсия — понятие.

1) The residue field Z5 is not algebraically closed.

2) The value of the function  f (z) = 1/(iz) for z=2 is purely imaginary.

3) A power series of the form ∑ anzn can diverge.

4) The function w=1/z generates an inversion.

 

Вернёмся теперь к нашим штампам. Самый первый (см. § 7) можно теперь уточнить, записав его в виде

THE áобъектñ IS áхарактеристикаñ

 

(Мы заменили áтерминñ на áобъектñ.) Четвёртый и пятый штампы из § 7 можно переписать так:

THE áобъектñ CONTAINS A áпонятиеñ

THE SET OF ALL áтерминыñ IS А áпонятиеñ
WITH RESPECT TO THE
áобъектñ

 

В последнем штампе мы оставили без изменений слово áтерминыñ: дело в том, что здесь (в множественном числе) артикля не требуется. В дальнейшем в наших штампах мы будем явно указывать, какие термины — объекты, какие — понятия.

Упражнение 7. Сделайте это для остальных штампов из §7.

 Ответ 

FOR ANY áпонятиеñ THERE EXISTS A áпонятиеñ

DENOTE BY áсимволñ ANY áпонятиеñ

ANY áпонятиеñ IS CALLED áхарактеристикаñ

 

Заметим, что в английском языке имеются вполне грамматически правильные видоизменения штампов с is — конструкции вида

A áпонятиеñ IS A áпонятиеñ

A áпонятиеñ IS THE áобъектñ

 

однако мы не включаем их в наш список штампов, поскольку они — особенно второй — редко используются в математических текстах. Конечно, можно (пользуясь первым из них) сказать: A one-point subset of  R is a compact set, но эту мысль лучше выразить с помощью другого штампа: Any one-point subset of  R is a compact set.

Отметим ещё два часто используемых 4 штампа с артиклем a:

THERE EXISTS A áпонятиеñ

THERE EXISTS A UNIQUE áпонятиеñ

 

Может показаться, что артикль a во втором штампе не логичен (áпонятиеñ однозначно определено контекстом, поэтому хочется сказать the unique); однако, то обстоятельство, что áпонятиеñ в этом месте вводится (фиксируется, обозначается), превалирует над тем, что оно определено контекстом. Не в нашей власти менять живой английский язык — в этом контексте англоязычные математики всегда говорят a unique; запомнив этот особый случай, так же будем поступать и мы.

Вот ещё два штампа с артиклем a:

THERE IS A áпонятиеñ

THE áобъектñ HAS A áпонятиеñ

 

Первый, так же как штамп there exists а (которому он синонимичен), обычно используется с разделителем such that. А вот пример употребления второго штампа:

The equation has a nontrivial solution.

В заключение этого параграфа отметим один важный штамп с двумя артиклями the:

THE áобъектñ IS THE áобъектñ

 

The number 17 is the smallest Gaussian integer.

Разумеется, всё сказанное про штампы с is переносится на штампы, в которых вместо is стоит другое бинарное отношение (см. § 7).

В заключение этого параграфа — одно замечание про модификацию an артикля aa. В Москве и в других российских городах студентов и школьников учат, что an ставится вместо a перед словом, начинающимся с гласной. Это неправда. Вот два контрпримера:

Let M be an n-dimensional manifold.

Suppose P has a y-coordinate greater than 1.

На самом же деле an ставится перед гласным звуком (звуком, а не буквой!). Названия некоторых согласных начинаются с гласного звука (например, n) и наоборот (например, y). Словом, нужно ориентироваться на произношение, а не на формальную принадлежность букв к фонетическим категориям.

 

§10*. Артикли: аксиоматический подход

 

В предыдущем параграфе мы видели, как выбираются артикли a и the при использовании штампов. Это оказалось делом нехитрым; автор уверен, однако, что продвинутый читатель испытывает определённое разочарование — ему хотелось знать, какой артикль ставить и в более сложных ситуациях, не ограничиваясь простыми штампами, отобранными мной для этой книги. Для такого читателя написан этот (необязательный) параграф.

Обещанные правила мы сформулируем в виде аксиом; но при этом нужно иметь в виду, что система аксиом не будет непротиворечивой: в некоторых ситуациях применимы сразу две аксиомы, дающие противоположные указания. В этом, однако, нет ничего страшного — в этих ситуациях любой выбор допустим; какой из них лучше (вопрос уже вкусовой), зависит от автора и от того нюанса, который он хотел подчеркнуть.

А) Математические термины в единственном числе

I. 

Артикль the ставится перед термином, если
а) термин ранее (недавно) упоминался (вводился);
б) термин однозначно определен контекстом.

II. 

Артикль a ставится перед термином, если
а) термин обозначает целый класс объектов, и речь идёт о принадлежности к этому классу;
б) термин в этот момент появляется (вводится, фиксируется).

III. 

Никакого артикля не нужно, если перед термином стоит один из «языковых кванторов» (some, each, any, a certain, every и т.п.).

IV. 

Нулевой артикль (= отсутствие артикля) «используется» в двух основных случаях:
a) «перед» названиями общих теорий;
b) для атрибутов данного понятия (таких как радиус окружности, степень многочлена и т.п.);
а также в одном частном случае:
c) слово space (в значении
R3) снабжается нулевым артиклем.

 

Рассмотрим соответствующие примеры.

(1) 

In topology continuity is the main notion.

This theorem is proved in Morse theory.

Однако к более частным теориям может ставиться артикль, так:

This is a standard theorem in the topology of smooth manifolds.

(2) 

A polynomial of degree n.

A circle of radius r.

A manifold of dimension 3.

The point P0 with coordinates (5, –2).

The function in coordinate representation.

A function of bounded variation.

(3) 

A curve in space or in the plane.

A surface in three-dimensional Euclidean space.

Для знатоков отметим, что артикль the иногда употребляется и перед общими понятиями, как, например, в предложении

The notion of the differential equation is a great invention of mankind,

хотя, по моему мнению, здесь лучше звучит конструкция с нулевым артиклем:

The notion of differential equation is a great invention of mankind.
 

B) Ссылки в единственном числе

V. 

Если ссылка снабжена номером или другим символом (например, Lemma A, Theorem 2.1, equation (2)), артикль ставить не нужно.

This proves Theorem 2.1.

(Но: This proves the theorem ...)

It follows from Lemma 3 that ...

VI. 

Если ссылка (не снабжённая номером) касается приведённого в данной статье текста, нужен артикль the (the previous lemma, the subsequent proof, the condition n>3).

VII. 

Если ссылка (не снабжённая номером) относится к новым, впервые здесь упомянутым текстам, нужен артикль a.

Here we construct a new theory of ...

VIII. 

Если ссылка относится к какой-либо науке вообще, применяется нулевой артикль.

In homology theory ...

IX. 

Ссылки на литературу снабжаются артиклем the (see the paper [2]).
 

С) Множественное число (термины и ссылки)

X. 

Если в единственном числе требуется артикль a (или есть сомнения в том, что требуется артикль the), то во множественном числе артикля не нужно.

XI. 

Если в единственном числе требуется артикль the, то во множественном тоже.

XII. 

Если термин или ссылка (без номера) является подлежащим основного сказуемого данного предложения, ставится артикль the.

XIII. 

В заголовках следует избегать артиклей, например, используя термины во множественном числе вместо единственного.

 

Упражнение 8. Возьмите препринт англо-саксонского автора по вашей специальности и для каждого артикля (в том числе нулевого) определите, в соответствии с какой из аксиом I–XIII он был поставлен.

 

§11. Разделители, составные конструкции и запятые

 

Все штампы, которыми мы пользуемся, достаточно короткие и простые. Однако, комбинируя их, можно строить и более длинные составные предложения, пользуясь служебными словами-разделителями. Схематически это выглядит так:

[штамп 1] → áразделительñ → [штамп 2].

 

или в более общем виде

[штамп 1] → áразделитель 1ñ
→ [штамп 2] →
áразделитель 2ñ → ... →
áразделитель (n–1)ñ → [штамп n].

 

Примеры:

[There exists a δ>0] ásuch thatñ [U contains  f (Oδ x)].

[Suppose x is a root of equation (2.1)] ásuch thatñ [(λxx) is positive] á, whereñ [λ is the least eigenvalue of the operator A].

В качестве разделителей выступают следующие слова (словосочетания): if | , where | when | whenever | such that | and | or | but | although | unless | provided | , i.e., | whence.

Разделители обладают следующим замечательным грамматическим свойством: они семантически связывают синтаксически законченные части предложений, но не требуют никаких внутренних согласований отдельных слов (и их окончаний) внутри разных частей. Не все служебные слова обладают этим свойством: например, словечки that и which, а также местоимения, как правило, выполняют определённую грамматическую функцию внутри той части предложения, которую они открывают, и часто требуют некоторого синтаксического согласования с предыдущими частями.

Таким образом, при использовании разделителей (и их выборе) нужно следить за семантикой (математическим смыслом) предложения, но нет нужды думать о синтаксисе (грамматике). В наших составных предложениях отдельные штампы выстраиваются в ряд, а разделители играют роль маркеров, обозначая конец предыдущего штампа и начало последующего. Структура фразы поэтому получается линейной, сложноподчинённые придаточные предложения исключены.

Небольшое отступление о запятых. Заметим, что запятая сама может играть роль разделителя. Например,

[Suppose  f : MN is a map] ásuch thatñf (M) is compact] á,ñ [the closure  f (M) coincides with N], áandñ || f || < ∞.

Далее, перед разделителями where и i.e. обязательно ставится запятая (таким образом, разделителем являются не сами эти словечки, а конструкции á, whereñ и á, i.e.,ñ. Перед разделителем and запятая ставится только, если предшествующие два штампа разделены запятой-разделителем, т.е. при перечислениях утверждений или условий. Перед остальными разделителями запятая не ставится никогда. Особенно неуместна (но часто встречается в плохих переводах) «русская запятая» перед such that.

Вообще же, использование запятых в английском языке принципиально отличается от их использования по-русски. Основная цель расстановки знаков препинания в русском тексте — продемонстрировать читателю, что автор владеет правилами русской пунктуации. В английском языке правил пунктуации просто нет, и запятые ставятся для удобства читателя. Поэтому в хороших математических текстах запятые — редкие гости. Мысль развивается линейно, с неукоснительной логикой и без пауз. Запятые появляются разве что при перечислениях, или могут отделять вводные выражения (см. § 13) в начале фразы (если требуется смысловая пауза), наконец они играют роль «слабых скобок», выделяя разные дополнения или отступления от основной мысли (как запятые перед where в ситуации, описанной выше, или запятая перед which, отделяющая так называемую restrictive clause, см. § 16).

Русскоязычному читателю особенно трудно будет отделаться от «русской запятой» перед such that и that, он будет забывать про запятую перед союзом and, возвещающую о конце перечисления. Но со временем и здесь появится свой — уже англоязычный! — автоматизм. Возвращаясь к разделителям, отметим, что их выбор не должен вызывать затруднений, однако несколько замечаний могут здесь оказаться полезными. Во-первых: such that — цельная конструкция; such и that нельзя разводить так, как разводятся такой и что по-русски. Например, следующая калька с русского:

Consider such a number n that  f (n) > C.

недопустима. Здесь естественна следующая составная конструкция:

Let n be a number such that  f (n) > C.

Во-вторых, отметим явно (хотя математику это должно быть и так ясно), что разделитель áifñ (перед которым запятая не ставится) отвечает импликации Ü (а не импликации Þ, как в if ..., then конструкции). В-третьих, посоветуем пользоваться разделителем whenever; это словечко не имеет хорошего аналога на русском языке, оно означает если только, всегда когда и т.п. и хорошо звучит, например, в следующих предложениях:

The function  fn is increasing whenever n is even.

The integralK f dσ is defined whenever K is compact.

Упражнение 9. Разбейте следующие длинные фразы на синтаксически независимые куски и перескажите их по-английски с использованием разделителей.

Преобразование z = x–7/8 сводит уравнение (2) к виду (6), а его решение к виду (8), где a — калибровочный коэффициент, который выбирается из условия, что константа C в уравнении (6) равна 1.

Нули функции D(p) не могут иметь предельных точек на действительной оси, но так как они образуют ограниченное множество без других предельных точек, этих нулей лишь конечное число.

Для топологического пространства W пусть O(W) и O1(W) будут, соответственно, классы всех открытых подмножеств W и всех открытых подмножеств W, содержащих вместе с любой точкой замыкание некоторой её окрестности.

Указание. Не бойтесь отступать от буквы текста.

 Ответ 

The trasformation z = x–7/8 reduces equation (2) to the form (6); this transformation reduces the solution of (2) to the form (8); here a is the gauge coefficient; a is chosen so that the constant C in equation (6) is equal to 1.

The zeros of the function D(p) have no limit points on the real axis. The set of zeros of the function D(p) is bounded. This set has no other limit points. Therefore this set is finite.

Suppose W is a topological space. Denote by O(W) the class of all open subsets of W. Further, denote by O1(W) the class of all open subsets U of W such that if xÎU, then there exists a neighborhood V of x for which VÌU.

 

Успешное выполнение этого трудного упражнения говорит о довольно высоком уровне читателя. Если вы с ним не справились, имейте в виду: писать «свой» текст намного легче, чем переводить трудный чужой.

 

§12. Рекурсивные конструкции

 

Под рекурсивными конструкциями мы понимаем схемы построения фразы, в которых в качестве переменной появляется не слово (термин, характеристика, ссылка), а целый штамп. Вот пример, часто встречающийся в естественных текстах:

FROM áссылкаñ IT FOLLOWS THAT [штамп]

 

From Theorem 3.1 it follows that the function φ is upper semi-continuous.

From our definition it follows that M contains an irreducible manifold.

Полезна (часто используется) и такая рекурсивная конструкция:

SINCE [штамп 1], WE SEE THAT [штамп 2]

 

Since  f  is unbounded, we see that the integral ∫ f dx is undefined.

Вариантами этой конструкции являются:

SINCE [штамп], WE HAVE áформулаñ

 

Since  f  is bounded, we have ∫ f (xdx < ∞.
 

SINCE [штамп], WE OBTAIN á

формула
ссылка

ñ

 

Since the expression in brackets is positive, we obtain the required inequality.

Отметим несколько распространённых искажений этих конструкций. После follows не следует опускать словечко that; не нужно это словечко вставлять после have перед формулой, и вообще we have that звучит неловко, лучше we see that. Недопустима и конструкция since [штамп], then [штамп], аналог русской конструкции так как [штамп], то [штамп] 5.

Заметим, что на самом деле в конструкциях настоящего параграфа вместо переменных штампов можно вставлять и составные предложения. Именно поэтому мы называем эти конструкции рекурсивными. В принципе можно даже рекурсивные конструкции подставлять в качестве переменных внутри самих себя, но это редко бывает полезным и в целом нежелательно.

Приведём ещё несколько достаточно сложных, но вполне приемлемых примеров.

FOR ALL áпонятияñ SUCH THAT [штамп],
WE HAVE
áформулаñ

 

For all functions  f  of class C such that the inequality || f || < C is satisfied, where the constant C is independent of  t, we haveM f dx < ∞.

FOR ANY áпонятиеñ SUCH THAT [штамп 1],
IT FOLLOWS THAT [
штамп 2]

 

For any random variable X such that X·Y0 is measurable with respect to A, it follows that the mixing coefficient is bounded.

В последнем примере мы комбинируем две из предыдущих конструкций.

Sincef  is unbounded] we see thatfor any áconstant Cñ such that [1/C < ε] it follows that [áthe integralK Cf dx < ∞ñ is ádivergentñ]].

 

§13. Вводные выражения

 

Вводные выражения в математических текстах — это стандартные слова или словосочетания, появляющиеся в начале фразы и выполняющие определённые семантические функции, но не влияющие на дальнейший синтаксис предложения. В отличие от штампов, они не являются синтаксически замкнутыми и поэтому требуют продолжения. Для иллюстрации рассмотрим следующий текст:

Suppose  f (a) and  f (b) have opposite signs. Then, since  f  is continuous, it follows that there exists a point cÎ[a, b] such that  f (c) = 0. Without loss of generality, we can assume that  f (a) < 0 and  f (b) > 0.

Здесь мы выделили жирным шрифтом три вводных выражения. Их функции понятны — они могут определять контекст следующей за ними фразы, связывать её с предыдущей, нести определённую смысловую нагрузку. Часто вводные выражения употребляются как комментарий к последующему тексту, могут оживлять и украшать его, не требуя при этом установления внутренних грамматических связей (синтаксических изменений) в последующем тексте.

Вводные выражения появляются очень часто (в начале абзаца — почти всегда); типичная фраза математического текста имеет вид

áвводное выражениеñ → [штамп]

áвводное выражениеñ → [штамп 1]
áразделительñ → [штамп 2]

 

А вот пример с тремя штампами:

áNow we can suppose thatñ [there exists a free group F] ásuch thatñ [G is isomorphic to FÅK] á, whereñ [K is finite].

Мы приведём здесь список наиболее ходовых вводных выражений, сгруппированный по близости смысла. Более полный список приводится в Приложении II. Наш список возглавляют два наиболее употребительных однословных вводных выражения suppose и then.

О них хочется сказать особо. Suppose (= пусть) — универсальное слово, наряду со словом let (см. § 18), открывающее почти все математические рассуждения или «подрассуждения». Then (= тогда) — универсальное слово, открывающее почти все фразы, продолжающие уже начатое рассуждение. Я очень советую пользоваться конструкцией

SUPPOSE [штамп 1]; THEN [штамп 2]

 

как можно чаще, избегая соблазна загнать присутствующую здесь импликацию ([штамп 1] Þ [штамп 2]) в единую фразу без точки с запятой. Особенно это полезно, когда перед вами уже написанный по-русски текст, состоящий из громоздких фраз, содержащих импликации явно или неявно (в виде следования или последования); как вас учили в школе, громоздкую фразу вы логически разбиваете на условие («что дано») [штамп 1] и заключение («что требуется доказать») [штамп 2] и используете suppose ...; then ... конструкцию. Это очень просто, снимает необходимость маневрировать с придаточными предложениями, хитрыми временами глаголов и прочей грамматикой и приводит к прозрачному тексту.

А вот и список основных вводных выражений. Более полный список приводится в Приложении II.

Suppose | Assume that | Now suppose that | Further assume that

Then | Further, | Finally | Moreover | Now

Therefore | Hence | It follows that | Thus

Similarly | In the same way | As above,

For example | In particular | In this case,

Let us prove that | Let us show that | We now prove that

Note that | Let us remark that

Prove that | Show that

It is clear that | It is obvious that | It is evident that | It is easily proved that

But | However | Nevertheless,

By assumption | By the inductive assumption | By definition | By construction,

Without loss of generality it can be assumed that

To be definite | For the sake of being definite

It remains to check that | Now we must only prove that

This means that | In other words,

Continuing in the same way, we see that

In addition, suppose that | Furthermore, assume that

 

§14. Долой отглагольные существительные!

 

Выше мы уже говорили о том, что английский язык очень плохо переносит характерные для русского языка нагромождения отглагольных существительных (в разных падежах), отмечали, что конструкция

подлежащее → сказуемое → прямое дополнение

 

значительно лучше звучит по-английски, чем те или иные «грамматически правильные» кальки с русского. В этом параграфе мы покажем, как пересказывать по-английски те сложные пассивные конструкции, которые вам подсказывает ваше русскоязычное сознание 6.

Мы не будем, однако, строить теорию по поводу этой деятельности, а ограничимся списком примеров, состоящих из предложений русского языка с их пересказом на английский, в надежде на то, что читатель самостоятельно научится осуществлять такой пересказ по этим образцам.

1.                 Целесообразность создания такой теории тем более должна быть подчеркнута, что предшествующие работы характеризуются громоздкостью конструирования соответствующих аддитивных резольвент.
This theory will be useful, since previous work involves constructing very complicated additive resolvents.

2.                 Цель настоящей статьи состоит в нахождении путей решения некоторых задач архитектуры и анализа параллельных программ для мультипроцессорных систем.
In this paper we consider certain problems related to the architecture and analysis of parallel programs for multiprocessor systems.

3.                 Наличие малого параметра в задачах оптимизации регулярных структур, появляющихся на поверхности стохастизированных ферромагнитных сред, делает целесообразным применение методов работы [2] для поиска решений стационарных уравнений типа Гинзбурга–Ландау.
Optimization problems for regular structures appearing on the surface of stochastic ferromagnetic media involve a small parameter; therefore, the methods from [2] for solving stationary equations of Ginzburg–Landau type should be used here.

Читателю должна быть ясна стратегия такого пересказа:

· заменять отглагольные существительные активными глаголами;

· не бояться разбивать одно длинное предложение на несколько коротких;

· беспощадно искоренять неинформативные слова-заполнители, вроде «целесообразность нахождения путей решения задач ...».

Но лучше всего: не пересказывайте подобных текстов, сначала поймите, что именно вы хотите сказать, скажите это просто и ясно (про себя по-русски), а потом уже перескажите (ещё проще и яснее) по-английски.

Заметим, что нагромождение отглагольных существительных, как правило, естественно возникает только в комментариях к теории, а не в самой теории, т.е. в первую очередь во вводных абзацах к статьям. Автор не берётся быстро научить не знающего английского языка математика писать изысканные введения к своим статьям. Поэтому — увы! — для вас выход один: писать максимально упрощённые введения. Кроме общетеоретических указаний этого параграфа, вам в этом отношении помогут (конкретными оборотами) §§ 28, 29 из следующей главы.

Упражнение 10. Перескажите следующие фразы по-английски, пропуская бессодержательные слова и заменяя отлагольные существительные активными формами глаголов.

В §5 рассматривается возможность построения классифицирующих пространств посредством выделения соответствующих подмножеств в пространстве B(Zn).

Необходимость введения фильтрации в множестве R обусловлена целесообразностью уточнения понятия размерности.

Перейдём теперь к изложению доказательства Теоремы 2.1.

 Ответ 

In §5 we construct classifying spaces by choosing subsets of B(Zn).

To define dimension, let us introduce a filtration in R.

Proof, или Proof of Theorem 2.1.

 

§15. Долой it, which, whose и that!

 

Выше (см. § 6) мы видели, какие серьёзные ошибки из-за потери управления могут возникнуть при употреблении «связывающего словечка» which как перевода местоимений который (которая, которые, которое) и что. В этом параграфе мы предлагаем разные рецепты для пересказа предложений, содержащих эти местоимения.

Основной принцип предельно прост: пользоваться словечками which, it, whose и that просто не следует. «Но как тогда быть?» — спросит читатель. Как перевести, скажем, фразу:

Всякая группа G, которая содержит свободное прямое слагаемое F, эпиморфно отображается на циклическую группу?

А очень просто. Например,

Suppose that the group G possesses a free direct summand F; then there exists an epimorphism of G onto a cyclic group.

Идея пересказа здесь (и во многих других случаях) состоит в том, чтобы разбить фразу на две, заменив местоимение which на разделитель then, соединяющий две синтаксически не связанные части; грамматическую роль местоимения играет сам символ G во второй фразе.

Вот другой пример:

Рассмотрим теперь счётное подмножество AÌX, замыкание которого совпадает с X.

Предлагаемый перевод:

Now suppose A is a countable subset of X such that the closure of A coincides with X.

Или более лаконично:

Now suppose AÌX is countable and A = X.

Заметим, что в этом простом случае почти пословный перевод

Consider now a countable subset AÌX whose closure coincides with X.

вполне допустим, но мы предлагаем просто забыть про слово whose для избежания ошибок в более сложных ситуациях.

Заодно следует забыть и про коварные it, which и that.

Употребление местоимения it, впрочем, часто приводит к ошибкам другого рода. А именно, русскоязычные авторы обычно используют it вместо this как пословный перевод словечка это, например,

If  f  has an extremum at c, then  f (c) = 0. It is only true for differentiable functions.

The integral 3.1 is calculated by special substitutions. It can be done as follows.

В обоих случаях случаях вторая фраза должна начинаться со слова This (а не It). Вообще можно запомнить, что it обычно замещает конкретный объект, в то время как this (когда оно — местоимение) замещает ссылки и описания процессов или конструкций.

Впрочем, всё это довольно хитро, и проще придерживаться принципа, указанного в заголовке этого параграфа.

Упражнение 11. Не пользуясь словечками which, that и whose, перескажите следующие предложения.

Рассмотрим подгруппу HÌG, которая порождена элементами h1, h2, ..., hk.

Среди подмногообразий пространства CPn коразмерности k выберем такое, чьи гомологии средней размерности имеют максимальный ранг.

Пусть S — сумма ряда, которая существует в силу леммы (2).

 Ответ 

The elements h1, h2, ..., hk generate a subgroup HÌG.

Suppose M is a submanifold of CPn of codimension k such that the homology of M in the middle dimention is of maximal rank. (Топологи наверняка заметят, что такого подмногообразия не существует, по крайней мере, если последнюю фразу понимать буквально. Кстати, пересказ русского текста с помощью простейших английских штампов часто помогает выявлять математические ошибки.)

Suppose S is the sum of this series; it exists by (2).

 

§16*. А всё-таки: когда which, когда that?

 

Этот параграф — для продвинутого читателя, который, понимая опасность использования which и that, хочет знать, каким из этих словечек нужно пользоваться в тех или иных (безопасных) случаях. Ответ на этот вопрос легко формулируется по-английски:

that introduces a restrictive clause;

which introduces a nonrestrictive clause.

По-русски это можно пояснить так: если придаточное предложение, начинающееся с местоимения, сужает (ограничивает) класс объектов, описанных тем существительным, которое замещает это местоимение, то этим местоимением должно быть that; иначе (т.е. когда придаточное предложение только даёт дополнительное описание существительного, не сужая класс его денотатов) употребляется which; во втором случае (в отличие от первого) придаточное предложение отделяется запятыми. Предыдущее объяснение вряд ли легко понять, поэтому мы приведём несколько примеров:

Decimal fractions that are periodic correspond to rational numbers.

Decimal fractions, which will be discussed in more detail in § 5, correspond to rational and irrational numbers.

Any open set that contains the point x is called a neighborhood of  x.

Any open set, which may be empty, has a closed complement.

The ring Zp that satisfies 1<p<4 is a field.

The ring Zm, which is always commutative, is not always a field.

Носители английского языка иногда (в нарушение описанного выше правила) пишут which вместо that, однако автоматически ставят правильно (ключевые!) запятые, выделяющие nonrestrictive clauses. Русскоязычному же автору придётся специально об этом думать.

 

§17. Пять способов борьбы с предлогом of

 

При пословном переводе русских математических текстов часто возникает цепочка союзов of, крайне неблагозвучная на английском языке. Например, фразу

G есть группа преобразований пространства Фреше функций ограниченной вариации.

вы, наверное, захотите перевести так:

G is the group of transformations of the space of Fréchet of functions of bounded variation.,

что, конечно, недопустимо (пять of подряд!). Как избегать таких казусов? В этом параграфе мы предлагаем для этого пять разных приёмов.

· Первый способ: перестановка. Большинство английских существительных (даже имена собственные) превращаются в прилагательные, если их поставить перед другим существительным. В нашем примере это естественно сделать со словосочетаниями group of transformations и space of Frechet] тогда получится более приемлемая фраза:

G is the transformation group of the Fréchet space of functions of bounded variation.

· Второй способ: глаголы и ing-овое окончание. Отглагольные существительные в цепочках с of можно заменять на глаголы в инфинитиве или в ing-овой форме, убивая тем самым один of. Например, предложение

Воспользуемся (1.2) для построения группы преобразований пространства X.

можно перевести так:

Let us use (1.2) for constructing the transformation group of the space X.

или так:

Let us use (1.2) to construct the transformation group of X.

· Третий способ: замена of на for. Очень часто один из of в «цепочке» можно заменить на for. (Как правило, это можно сделать в тех случаях, когда по-русски в этом месте можно поставить словечко для.) Пример: начало предложения

The theory of differential equations of shallow waves of second order of the form ...

можно выразить лучше, применив сразу первый и третий способы:

The theory of second order differential equations for shallow waves of the form ...

· Четвёртый способ: использование генитива ('s). Когда союз of означает принадлежность, то его можно устранить: для этого нужно переставить местами разделенные им слова и добавить 's к слову, поставленному первым. Например, вместо theorem of Cauchy написать Cauchy's theorem, вместо roots of the equationthe equation's roots.

· Пятый способ: перестройка фразы. Иногда целесообразно решительно изменить фразу, например, заменив одно из существительных активным глаголом или разбив предложение на два. Так, при пословном переводе фразы

Вычислим эйлерову характеристику множества нулей квадратичного отображения пространства функций класса C.

получится цепочка из шести (!) of, однако следующий пересказ:

Suppose F is the space of C functions and Z is the zero set of the quadratic map q: FR; let us compute the Euler characteristic of Z.

устраняет целых три of и не только проще для понимания, чем пословный перевод, но и чем русский оригинал.

Упражнение 12. Из пословного перевода каждой из следующих фраз устраните несколько of; постарайтесь использовать все пять способов, указанных выше.

Построение инъективных резольвент гротендиковского типа этих точных последовательностей проводится в §6.

Уравнение второго порядка типа Монжа–Ампера допускает решение в квадратурах.

Супермногообразие Грассмана обобщённых реперов обозначается через G.

Определение допустимых классов комплексов абелевых групп конечного ранга аналогично.

Метод орбит А. А. Кириллова можно использовать для классификации представлений алгебр функций ограниченной вариации.

 Ответ 

In §6 we construct injective resolvents of Grothendieck type for these exact sequences.

Second order Monge–Ampère equations have solutions in quadratures.

Denote by G the Grassmann supermanifold of generalized frames.

Admissible classes of complexes for abelian groups of finite rank are defined similarly.

A. A. Kirillov's orbit method may be used to classify algebras of functions of bounded variation. (При прямом пословном переводе этой фразы получается шесть of!)

 

§18*. Глаголы и времена глаголов

 

У читателя, изучавшего английский язык, наверняка остались смутные, но мучительные воспоминания о грамматике спряжения глаголов, о сложных временах вроде Past Perfect Continuous, столь близких сердцам вузовских преподавательниц английского языка, К счастью, эта огромная и сложная информация совершенно не нужна для написания математических текстов: в них почти всегда используется одно единственное время — настоящее.

В этом параграфе мы обсуждаем исключения из этого общего правила.

Прежде всего, это часто используемая конструкция let ... be ..., в которой инфинитив be никак нельзя заменить на активную форму глагола. Этот штамп обычно появляется, когда вводятся обозначения (в начале изложения теории или доказательства), и о нем сказано отдельно в § 22. Здесь мы подчеркиваем только то, что let не совместим с is или любым другим глаголом в настоящем времени.

Далее, во введениях к статьям и комментариях иногда используется прошедшее время. Вот типичные примеры:

In [2], G. Margulis proved that ...

It was shown in [AV] that ...

In the paper [3], appropriate bifurcation diagrams were constructed ...

При желании можно пользоваться подобными конструкциями, но в них нет необходимости: замены provedproves, wasis, wereare превращают прошедшее время в настоящее в этих примерах, при этом текст звучит вполне нормально. В подобных ситуациях настоящее время всегда годится.

Обойтись настоящим временем труднее в тех случаях, когда автор даёт обещание о будущем, например,

This will be discussed in a further paper.

In the next section, we shall prove that ...

The proof will be given in § 10.

хотя в последних двух примерах можно говорить и в настоящем времени (заменив shall prove на prove, will be на is).

Обратим ещё внимание на полезную конструкцию

LET US SHOW THAT

 

использование которой вместо we shall show that не только экономит два печатных знака, но (по моему мнению) и звучит лучше, да к тому же устраняет по существу не нужное здесь будущее время.

Наконец, отметим, что естественное желание использовать условное наклонение в фразах вроде

If we could prove that ... it would then be possible to ...

Were the function φ continuous, we could ...

в большинстве случаев можно подавить без ущерба для смысла (например, первую фразу можно начать так: If we prove that ... then it is possible to ...)

Среди наших штампов лишь два или три содержат глаголы в прошедшем времени (например, ряд штампов в § 28).

 

§19*. О докладах и лекциях

 

Тема этого параграфа выходит, строго говоря, за рамки предлагаемой книги, но автор не смог удержаться от небольшого комментария.

Наиболее популярная стратегия подготовки к выступлению на международной конференции или школе состоит в том, чтобы написать русский текст статьи, перевести его на «английский», выучить перевод наизусть, потренироваться на друзьях и родственниках и бойко оттараторить свой доклад. Результат однозначен: после первых двух минут все перестают слушать: «Another Russian — can't understand anything».

Однако математик, овладевший материалом этой книги, сможет успешно выступить по-английски (даже если местами его произношение вызовет улыбки у англо-саксонских слушателей), если будет следовать приведённым здесь советам.

1.                 Не пишите текст выступления.

2.                 Пользуйтесь небольшим набором тех простейших математических оборотов (штампов), в которых вы совершенно уверены.

3.                 Тренируйтесь (можно про себя, в трамвае) излагать математические теории по теме доклада с помощью этих штампов.

4.                 Пишите больше, говорите меньше! Пользуйтесь без пояснений общепринятыми международными математическими сокращениями (типа Rn, Þ, Th., ", C).

5.                 Ни в коем случае не читайте формулы, просто напишите их. Впрочем и писать их не надо, если вы заранее заготовите прозрачки (transparencies) для диапроектора (я очень это рекомендую аналитикам, работающим с громоздкими формулами 7).

6.                 Не говорите длинных, ненужных глупостей (вместо In order to prove this theorem, we shall need the next lemma, напишите L1 и скажите Lemma).

7.                 He готовьте обстоятельных, глубоких, остроумных, язвительных, благодарственных, литературных, иронических вступлений к лекциям и докладам. Максимум одна-две фразы. Например: I will talk about generalized KAM theory (пишите аббревиатуру KAM). This is new unpublished joint work with Shubin (пишите М. I. Shubin). Дальше: Main theorem. Let ... и т.д.

8.                 He бойтесь вопросов. На них не обязательно отвечать в течение доклада (особенно когда вы не поняли вопроса), можно ограничиться «универсальным ответом» вроде Never mind или, лучше, Let's discuss this later, а после доклада подойти к задавшему вопрос и честно сказать: I didn't really understand your question.

9.                 He надейтесь, что все всё поймут (сколько из прослушанных вами по-русски докладов вы на самом деле поняли?), но постарайтесь, чтобы основные формулировки были сказаны медленно, просто, хорошо зафиксированы на доске. Доказательства не только могут, но и наверное должны остаться непонятными (иначе уважать не будут), достаточно, чтобы чётко прозвучали ключевые слова.

10.             Пишите на доске все упомянутые вами фамилии (иначе при вашем произношении не поймут, о ком речь).

11.             Для оживления доклада придумайте себе несколько простых, но нетривиальных присказок, в которых проявляется ваша индивидуальность. Например, The proof is very very very trivial, Actually ..., In this situation ..., Optimistic conjecture ..., Well of course ..., This guy here ..., That complicated thing ... Прослушав несколько докладов своих коллег, методом избирательного плагиата вы можете пополнить свой репертуар словечек и присказок.

12.             Если это отвечает вашему темпераменту, некоторую добавочную информацию и эмоции можно довести до слушателей жестикуляцией или мимикой.

13.             Если вы не И. М. Гельфанд, не рассказывайте анекдотов.

14.             В конце доклада не благодарите слушателей за внимание. Скажите что-то вроде Well, that's all или разведите руками и скажите Му time is up, so I'm finished.

 

§20. Напутствие

 

Если вы не только пролистали, но и проработали первые две главы этой книги, вы можете начать писать свою статью по-английски. Конечно, лучше сначала ещё прочитать и последнюю, третью главу книги, а затем взяться за перо. Однако можно осваивать и использовать материал третьей главы по мере того, как вы пишете свой первый опус.

Исходя из такой стратегии и написана третья глава — её параграфы выполняют определённые функции (указанные в их названии), к ним можно обращаться по мере надобности. Например, если вы собираетесь в своей статье дать определение — обратитесь к § 21 («Как дать определение»), если при доказательстве вы описываете вычисления — смотрите § 24 («Как комментировать вычисления») и т.п.

В настоящем параграфе мы хотим подвести итог и перечислить общие принципы, изложенные в главах I и II:

·                    пословный перевод приводит к нечитаемому тексту и к смысловым ошибкам;

·                    грамматикой мы не пользуемся;

·                    нужен не перевод, а пересказ, основанный на стандартных оборотах (математических штампах);

·                    из простых синтаксически замкнутых кусков (штампов) можно создавать более сложные фразы, открывая их стандартными вводными выражениями и расставляя между штампами подходящие разделители (не требующие никаких грамматических согласований между разными кусками);

·                    структура фраз остаётся линейной, без придаточных предложений, без местоимений, без пассивных конструкций с нагромождением отглагольных существительных, без глаголов в сложных временах;

·                    если вы сами знаете, что вы хотите математически сказать, то по-английски это можно сказать очень просто и прозрачно, пользуясь небольшим набором оборотов (штампов), освоенных при работе с этой книгой.

Последнее напутствие перед работой: будучи профессиональным математиком-исследователем, вы — обладатель высокотренированного мозга, и если вы этот мозг будете использовать при создании английского текста с тем же творческим педантизмом, что при математической работе, успех обеспечен.

 

 
Глава III. КОНКРЕТНЫЕ ОБОРОТЫ
 

 

В этой главе, как явствует из её названия, собраны необходимые для написания математической статьи обороты, вместе с соответствующими пояснениями. Обороты сгруппированы по тематическому признаку и легко находятся по названиям параграфов. Однако эта глава — не только справочного характера; в ней, кроме примеров, переводов на русский и пояснений, содержатся указания о стратегии написания статьи, в частности, относительно выбора того или иного штампа. Более компактный список всех штампов (без пояснений и указаний) содержится в Приложении I.

 

§21. Как дать определение

 

Мы уже отмечали (см. § 1), что пословный перевод на английский наиболее употребительной русской конструкции для формулировки определений («назовём так-то то-то») никуда не годится.

Простейший (и очень употребительный) способ дать определение по-английски — это конструкции с глаголом is; эти конструкции используются как для определения характеристик (прилагательных, см. § 7), так и для определения объектов и понятий (существительных, см. § 9). Приведём несколько примеров:

1.                 A group G is abelian if g*h=h*g for all g, h Î G.

2.                 A relation > is a partial order on S if > is reflexive and transitive.

3.                 A reflexive and transitive relation is a partial order.

4.                 The set of all limit points of AÌT is the closure of A.

5.                 The closure A of a subset AÌT is the set of all limit points of A.

Обратите внимание на то, что определяемое слово выделено; я настоятельно рекомендую всегда выделять курсивом слова, вводимые при определениях, особенно при определении терминов (иначе может оказаться неясным, какой термин вводится: тот, что перед is или тот, что после). Если вы хотите придать определению дополнительную торжественность, перед ним можно поставить слово Definition (и даже снабдить номером, если вы часто даёте торжественные определения). Если же вы хотите намекнуть на вашу причастность к даваемому определению, перед штампом-определением с глаголом is можно поставить вводное выражение

WE SHALL SAY THAT ...

    или    

WE SAY THAT ...

 

или в виде отдельной фразы поставить перед определением одну из следующих идиом:

NOW WE SHALL GIVE THE FOLLOWING DEFINITION.

NOW WE INTRODUCE THE FOLLOWING CONCEPT.

 

При определениях близкими к конструкциям с is (и также часто употребляемыми) являются конструкции с is called. Эти конструкции, в отличие от конструкции с is, не симметричны: в них определяемое слово обязательно ставится после is called. Примеры:

6.                 A group is called abelian if ...

7.                 A relation > is called a partial order if ...

8.                 The set of all limit points of AÌT is called the closure of A in T.

Читатель, внимательно проработавший § 9 (об артиклях), понимает, почему в примерах 2), 3), 7) и 4), 5), 8) стоят артикли a и the соответственно: пользуясь делением терминов на «объекты» и «понятия» (§ 9), эти примеры можно представить как реализации штампов

A áпонятиеñ IS A áопределяемое понятиеñ
IF [утверждение]

A áопределяемое понятиеñ IS A áпонятиеñ
SUCH THAT [утверждение]

A áпонятиеñ IS CALLED
A
áопределяемое понятиеñ IF [утверждение]

THE áобъектñ IS THE áопределяемый объектñ
IF [утверждение]

THE áопределяемый объектñ IS THE
áобъектñ SUCH THAT [утверждение]

THE áобъектñ IS CALLED THE
áопределяемый объектñ IF [утверждение]

 

Здесь всюду артикль a ставится перед понятиями, a the — перед объектами. В определениях особенно легко отличать объекты от понятий: объекты определены однозначно, а понятий много. Так, у подмножества AÌT топологического пространства T имеется единственное замыкание, поэтому в примерах 4), 5) сказано the closure. Напротив, частичных порядков на множестве много, поэтому в 7) говорится a partial order.

Отметим ещё, что перед конструкцией is called при желании можно поставить заголовок Definition, но нельзя, разумеется, ставить вводное выражение We say that.

Чтобы избежать назойливого повторения, конструкцию с is called можно иногда заменять на is said to be, как, например, в штампе

THE áобъектñ IS SAID TO BE THE
áопределяемый объектñ IF ...

 

В случае, когда определяемые предметы находятся в множественном числе, в предшествующих штампах следует заменить is на are. Например:

The vectors a1, ..., an are linearly independent if ...

The points x, y are called dual singular points 8 of the surface M if ...

Подведём промежуточный итог для читателя, который желает освоить минимальный набор штампов.

Чтобы дать определение, проще всего воспользоваться конструкцией с is called; для характеристик (прилагательных) она задаётся штампом

A áпонятиеñ IS CALLED áхарактеристикаñ IF ...

 

а для терминов (существительных) — штампом

áтерминñ IS CALLED áопределяемый терминñ IF ...

 

притом перед термином ставится артикль the, если этот термин однозначно фиксируется определением, и артикль a, если определяемый термин представляет собой понятие (целый класс объектов).

Предлагаемые штампы годятся для сравнительно коротких определений. Но как быть с очень сложными, с теми, что не умещаются в одну фразу после if (даже с привлечением дополнительных разделителей, например, such that)! Мы предлагаем два способа.

Первый основан на использовании штампов

А áпонятиеñ IS CALLED áхарактеристикаñ
IF THE FOLLOWING CONDITIONS HOLD:
(i) ...; (ii) ...; ...

A áпонятиеñ IS CALLED áопределяемый терминñ
IF THE FOLLOWING CONDITIONS HOLD:
(i) ...; (ii) ...; ...

 

в конце которых под номерами (i), (ii), ... перечисляются условия, определяющие вводимый термин (характеристику). Здесь вопрос выбора артиклей решается так же просто, как выше.

Второй способ состоит в том, чтобы сначала описать контекст определения в виде нескольких штампов, начинающихся со слова suppose 9 и разделённых точками с запятой (и/или «разделителями», см. § 11), а затем воспользоваться штампами

THEN THIS áтерминñ IS CALLED áтерминñ

THEN THIS áтерминñ is CALLED áхарактеристикаñ

THEN ANY áтерминñ SUCH THAT [штамп]
IS CALLED
áтерминñ

 

При этом слово áтерминñ в начале этих штампов, разумеется, не требует артикля (так как перед ним стоит this), и это слово должно было появиться в описании контекста (до then). Вопрос об артикле перед вторым термином в первом из этих двух штампов решается так же, как и выше.

Если вы даёте много определений и не хотите всё время повторять одну и ту же конструкцию, вы можете, во-первых, чередовать is и is called, во-вторых, вместо is called писать is said to be и, наконец, пользоваться is-конструкцией с вводным выражением we (shall) say that.

Если при определении фиксируется стандартное обозначение вводимого объекта, полезен следующий штамп:

áтерминñ IS CALLED á

термин
характеристика

ñ

AND IS DENOTED BY áсимволñ

 

Например, можно сказать

The set of all limit points of AÌT is called the closure of A and is denoted by A.

Очень часто этот штамп предваряется suppose ..., then конструкцией.

Если вы хотите разнообразия и в этой ситуации, есть другой равносильный штамп:

IF [утверждение], THEN WE SAY THAT áтерминñ
IS
áопределяемый терминñ AND WRITE áформулаñ

 

Читатель, конечно, понимает, как выбрать здесь артикли перед терминами. Заметим, что вместо определяемого термина здесь можно поставить и определяемую характеристику.

В заключение этого параграфа — несколько слов о конструкциях, в которых is и is called принципиально не годятся. Это бывает, в частности, в ситуациях, когда по-русски ключевой глагол в определении — не называется, является, есть, а глагол вроде имеет или обладает.

Например, как определить по-английски наличие неподвижной точки у отображения или сингулярности у поверхности? Здесь уместен следующий штамп:

WE SAY THAT áтерминñ HAS
áопределяемый терминñ IF ...

 

Например 10,

We say that the map  f : XX has a fixed point x0, if  f (x0) = x0.

Нельзя пользоваться конструкцией is called и в случае, когда определяемый объект вводится в виде символа — формулой. Тогда я предлагаю такой штамп:

BY DEFINITION, PUT áформулаñ

 

Например,

By definition, put

A = {x Î T | x is a limit point of A}.

 

Подведём итог параграфа: с небольшим числом исключений определения удобнее всего давать с помощью основной конструкции is called, которая используется как в чистом виде, так и с прибавлением if ... с последующим перечислением или предваряется конструкцией suppose ..., then.

 

§22. Как начать изложение теории (доказательства) и ввести обозначения

 

В первую очередь этот параграф посвящён наиболее употребительному штампу в английских математических текстах

LET á

символ
термин

ñ BE áтерминñ

 

Этот оборот появляется как в формулировках теорем, так и в их доказательствах, особенно в начале (или в начале изложения теории), когда фиксируются рассматриваемые объекты и вводятся основные обозначения. Рассмотрим несколько примеров.

9.                 Let  f : XY be a continuous map.

10.             Let the domain D be bounded.

11.             Let γ be a smooth curve and let the following condition be satisfied: for any ε > 0 ...

12.             Let the number m be the least upper bound of the function  f  on the interval (0, 1).

Наиболее часто встречаются примеры, аналогичные 9); пользуясь терминологией §§ 8–9, их можно объединить в виде штампа

LET áсимволñ BE A áпонятиеñ

 

Достаточно часто используются и следующие штампы:

LET áсимволñ BE THE áобъектñ

 

Например,

Let d be the degree of  f.

 

LET áсимволñ BE áхарактеристикаñ

 

Например,

Let n be even.

 

LET THE áобъектñ BE A áпонятиеñ

 

Например,

Let the origin be a critical point of  f.

 

LET THE áобъектñ BE THE áобъектñ

 

Например,

Let the map  f *: H1(X) → H1(Y) be the homomorphism induced by  f : XY.

Читатель, проработавший §§ 7–9 (и понимающий соответствующую математику!), здесь без труда поймёт, когда нужно ставить артикли the и a и почему. Например, в самом последнем примере любой математик, хоть чуть-чуть знакомый с топологией, понимает, что в данном контексте (при фиксированном отображении  f : XY) имеется однозначно определённое индуцированное отображение  f * групп гомологий и поэтому дважды требуется артикль the.

Довольно часто в начале доказательств приходится фиксировать много обозначений. В этом случае можно итерировать конструкцию let ... be ... , например, можно написать

Let X be an arbitrary topological space, let H*(X) be its singular cohomology, and let n be the largest integer such that Hn(X) ≠ 0.

Однако, я не очень рекомендую подобные длинные перечисления — они звучат, по-моему, слишком однообразно — и советую конструкцию suppose ... is.

Suppose X is an arbitrary topological space, H*(X) is its singular cohomology, and n is the largest integer such that Hn(X) ≠ 0.

Другой вариант перечисления с let состоит в том, чтобы пропускать все be (и все let) после первого.

Let X be an arbitrary topological space, H*(X) its singular cohomology, and n the largest integer such that Hn(X) ≠ 0.

Обратите внимание на отличие английской пунктуации в этой фразе от русской: нет тире после H*(X) и n (эти тире по-английски недопустимы, и скорей всего будут прочитаны англоязычными математиками как знаки минус), а запятая перед and — обязательна (здесь перечисление: см. § 11).

Другой широко распространённый способ вводить обозначения основан на следующем штампе:

BY áсимволñ DENOTE áтерминñ

 

Например,

By H*(X) denote the cohomology of X.

By g denote an arbitrary element of G.

Очень часто этот штамп участвует в составной конструкции (§ 11) с разделителями such that, where и др., например,

By g denote an arbitrary element of G, where the group G satisfies the assumptions of Theorem 2.3.

By В denote a nondegenerate form on C ∞(M) such that áA, Bñ = 0.

Можно, конечно, предварить введение обозначений необходимыми сведениями, пользуясь конструкцией suppose ...; then ... , например,

Suppose I is a directed set, πij: YiYj are epimorphisms and the sets Yi are finite; then by Y = lim Yi we denote the projective limit of the family {Yi, πij; i, j Î I}.

Обратите внимание на we перед denote — это местоимение можно ставить перед denote и в предыдущих примерах. В последнем же примере (и вообще после suppose ...; then ...) это we желательно (повелительное наклонение denote — без we — не очень хорошо звучит после условного if ... , then ...).

В начале доказательств часто встречается штамп

CONSIDER áтерминñ

 

тоже используемый для введения рассматриваемых понятий и их обозначений.

Пример:

Consider a subgroup H of G such that g0 Î H.

И, наконец, — менее универсальная конструкция, без которой, однако, бывает трудно обойтись:

SUPPOSE áтерминñ SATISFIES áссылкаñ

 

чаще всего используемая в более частном виде:

SUPPOSE áтерминñ SATISFIES
THE ASSUMPTION(S) OF
áссылкаñ

 

Например,

Suppose the space X satisfies (1.2) and (1.3).

Suppose the dynamical system E satisfies the conditions of Theorem 2.3.

По ходу доказательства или в изложении теории часто бывает необходимо сформулировать не установленное ещё утверждение, а затем его тут же доказать. Тогда очень удобно пользоваться замечательным словом claim (это и существительное, и глагол), которое не имеет адекватного перевода на русский. (В устной речи неплохим переводом we claim that ... будет «теперь я утверждаю, что».) Вот один из штампов с этим словом:

WE CLAIM THAT [утверждение]. INDEED, ...

 

Например,

We claim that φ is an isomorphism. Indeed, this follows from Theorem A and five-lemma.

Наконец, довольно специальная, однако используемая во всех разделах математики конструкция:

áтерминñ IS UNIQUELY DETERMINED BY á

термин
ссылка

ñ

 

Например,

The value of the pairing áh,cñ is uniquely determined by the homology class of c.

The constant C is uniquely determined by the initial condition.

 

§23. Как сформулировать теорему

 

В этом параграфе мы обсуждаем формулировки теорем, лемм, предложений, следствий и просто утверждений, встречающихся в изложении теорий или в доказательствах. В отличие от определений, где хватает, в сущности, одного штампа, здесь можно использовать почти всё разнообразие предлагаемых нами конструкций. И всё же некоторые общие указания в этом случае уместны.

Начну с того, что наиболее распространённые конструкции is, is a, is the, о которых уже говорилось в §§ 7, 9, 21, тоже используются при формулировке теорем. На них я останавливаться здесь не буду (считаю, что они уже освоены читателем), и ограничусь одним примером.

Proposition 4.1. The injective map j: YΩk is an embedding.

Далее замечу, что бóльшая часть теорем с точки зрения логики имеют вид A Þ B или A Þ (B Þ C), и поэтому короткие теоремы хорошо укладываются в конструкцию

IF [утверждение], THEN [утверждение]

 

Lemma 8.1. If  d: X × XR is the function defined above on X, then d(a, b) = d(b, a) for all pairs x, y Î X.

В более длинных теоремах используются штампы

SUPPOSE [утверждение]; THEN [утверждение]

LET áтерминñ BE áтерминñ; THEN [утверждение]

 

Примеры.

Theorem 6.6. Suppose the regular Fréchet space F satisfies the second axiom of countability; then there exists an embedding of F into the Hilbert cube IN.

Proposition 11. Suppose the extension E is totally ramified over K. Let П be an element of order 1 at B; then П satisfies the Eisenstein equation

Xk + ak–1Xk–1 + ... + a0 = 0.

 

Принципиально другое логическое строение теорем — разного рода формулировки необходимых и достаточных условий: А Û В. Вот наиболее экономный штамп:

[утверждение] IFF [утверждение] 11

 

Lemma 1. M is parallelizable iff ω2(τ) = 0.

Более торжественно необходимые условия формулируются так:

FOR áтерминñ TO BE A áтерминñ IT IS NECESSARY
AND SUFFICIENT TO HAVE [
формула]

A NECESSARY AND SUFFICIENT CONDITION
FOR
áтерминñ TO BE A áпонятиеñ

IS THAT áтерминñ BE á

термин
характеристика

ñ

 

Theorem 2. For the homomorphism ψ to be a monomorphism it is necessary and sufficient to have ψ–1(e) = e.

Theorem 3. A necessary and sufficient condition for dF to be a local homeomorphism is that the Jacobian JF be nonzero.

Другой логический тип часто встречающихся теорем характеризуется формулой

A Þ (B1 Û B2 ÛÛBk);

 

словами такую теорему можно высказать так:

SUPPOSE [утверждение]; THEN THE
FOLLOWING CONDITIONS ARE EQUIVALENT:
(i) [
утверждение 1]; (ii) [утверждение 2]; ...

 

Отметим теперь полезный оборот, с которого начинаются многие формулировки:

UNDER THE CONDITIONS OF áссылкаñ,

WE HAVE [

утверждение
формула

]

 

Lemma 3. Under the conditions of Lemma 1, we have w*(e) = φ(τ).

В этом штампе выражение we have можно опустить, оставив лишь запятую, особенно если [  ] состоит из выделенной формулы.

Приведём ещё одну более сложную логическую схему для теорем:

A Þ ((B1 Ú B2) Þ C).

 

Подобную теорему можно выразить так:

LET áтерминñ BE áтерминñ;
IF EITHER [утверждение 1] OR [утверждение 2],
THEN [утверждение]

 

По этому образцу (и предыдущим) читатель, при желании, может построить ещё более логически изощрённые формулировки. Однако текст будет более понятным, если при этом не будут возникать слишком длинные предложения.

 

§24. Как комментировать вычисления

 

По-видимому, с языковой точки зрения комментарии к вычислениям (скажем, в работах по дифференциальным и интегральным уравнениям, или вообще по анализу) — наиболее простой раздел английского математического языка. Всё же и здесь полезно владеть наиболее употребляемыми штампами и уметь обходить имеющиеся подводные камни.

Обычно подобные тексты начинаются с введения обозначений. Лексически здесь нет ничего нового по сравнению с § 22, разве что формулы более громоздки и чаще выносятся на отдельные строки.

Непосредственно в комментариях вычислений наиболее употребительны следующие обороты:

WE HAVE áформулаñ

THEREFORE, WE HAVE áформулаñ

THEREFORE, áформулаñ

 

Вводное выражение Therefore в этих штампах можно заменить на Hence, Whence или (в конце рассуждения) на Thus. Для разнообразия, we have можно разбавлять словечками clearly, obviously и т.п., например,

WE OBVIOUSLY HAVE áформулаñ

 

В самом процессе вычислений вместо we have чаще используются

WE GET áформулаñ

         

WE OBTAIN áформулаñ

 

но обычно этим штампам предшествует пояснение о том, как именно эта формула получается. Приведём конкретные примеры наиболее популярных пояснений.

Using á(2.7)ñ, we get áформулаñ.

If we combine this with áLemma 1ñ, we get áформулаñ.

Combining á(11), (17) and (7)ñ, we obtain áформулаñ.

Substituting á2xñ for áuñ in á(3.2)ñ, we get áформулаñ.

If we replace áuñ by á2xñ in á(3.2)ñ, we obtain áформулаñ.

Since [утверждение], it follows that áформулаñ.

Adding á3Δ2ñ to both sides, we get áформулаñ.

Multiplying both sides by áT(x)ñ, we obtain áформулаñ.

Summing á(2.1), (2.5), and (2.7)ñ, we get áформулаñ.

Subtracting á(1.7)ñ from á(1.2)ñ, we get áформулаñ.

Вот ещё несколько более специальных примеров:

Integrating á(3.1)ñ in áxñ, we obtain áформулаñ.

By áLemma 3ñ, áформулаñ, so that áформулаñ.

áThe integral (3.2)ñ is majorized by áформулаñ.

Now if we recall á(1.3) and (2.7)ñ, we get áформулаñ.

It now follows that áформулаñ.

Now, by áProperty (5)ñ, áформулаñ.

The application of áTheorem 5ñ yields ...

Ближе к концу вычислений уместны следующие обороты:

Finally, we obtain áформулаñ.

The result is áформулаñ.

Thus we have áформулаñ.

To conclude the proof, it remains to note that áформулаñ.

Заключительным аккордом данного вычисления может прозвучать стандартная фраза

This completes the proof of  áTheorem 3ñ.

 

§25. Как вводить алгебраические структуры

 

Алгебраические тексты писать, как правило, очень просто, и обычно хватает тех штампов, что были описаны в §§ 7, 20–23. Здесь мы ограничимся несколькими специфическими оборотами, связанными с введением бинарных операций.

LET THE áобъектñ BE THE áобъектñ
WITH RESPECT TO THE
áобъектñ

 

Let Zm be the group of integers modulo m with respect to the sum operation.

Let Mat(n) be the algebra of square n×n matrices with respect to the ordinary multiplication of matrices.

На самом деле «хвост» with respect to (с последующим описанием алгебраической операции, или другой структуры) часто используется не только в статьях по алгебре. Приведём два примера:

W is a Banach space with respect to the norm || · ||.

The sequencefn} has a finite limit with respect to the weak topology.

Для более конкретного описания бинарной операции полезен следующий штамп:

DEFINE THE áобъектñ OF TWO
áпонятияñ AS THE áобъектñ

 

Define the convolution of two functions  f , g Î W as the integralKf ·g dx.

Define the product of two equivalence classes {a}, {b} mod p as {a}·{b} = {a·b} mod p.

В алгебраических построениях часто приходится иметь дело с классами эквивалентностей, а затем доказывать корректность определений и конструкций. Здесь можно пользоваться таким оборотом:

THE áобъектñ IS WELL DEFINED

 

снабжая его подходящим вводным выражением, например,

It is easy to prove that the product {a}·{b} is well defined.

Obviously, the scalar product is well defined.

(Имейте ввиду, что слово correct означает «правильно», а вовсе не корректно).

Приведём один стандартный оборот, часто используемый в гомологической и категорной алгебре:

CONSIDER THE FOLLOWING COMMUTATIVE DIAGRAM:

 

за которым, разумеется, следует обещанная диаграмма; при необходимости слово commutative можно опустить, а вместо consider сказать we have или we get.

 

§26. Как описывать соответствия, отображения и функции

 

Как и в случае определений (ср. § 21), наиболее популярный способ устанавливать соответствия (на русском языке): тому-то поставим в соответствие то-то при дословном переводе на английский звучит несуразно (и, скорее всего, будет непонятным англоязычному читателю).

Если мы желаем сохранить естественный порядок «прообраз, затем образ», можно пользоваться конструкцией

ТО EACH áтерминñ ASSIGN áтерминñ

 

То each point x assign the point y = x2.

но по-английски более часто встречается обратный порядок:

áтерминñ CORRESPONDS TO áтерминñ

 

The point y = x2 corresponds to the point x.

 

áтерминñ IS ASSIGNED TO áтерминñ

 

The point y = x2 is assigned to x.

Разумеется, слова assign и correspond можно заменять стрелками, как например в конструкции

LET áтерминñ BE GIVEN BY áформулаñ

 

Let the map  f  be given by x →  f (x) = x2.

Более подробное описание отображения (с указанием области определения и множества значений) даётся так:

LET áтерминñ BE THE MAP OF (термин} TO áтерминñ
SUCH THAT
áформулаñ FOR ALL áтерминñ

 

Let  f  be the map of  R to R such that  f (x) = x2 for all x Î R.

Если отображение не всюду определено, предлог of нужно заменить на from, как, например, в предложении

LET áтерминñ BE THE MAP FROM áтерминñ
TO
áтерминñ SUCH THAT [утверждение]

 

Let √   be the map from  R to R such that (√ x)2 = x and x ≥ 0.

Но, пожалуй, наиболее популярная конструкция для построения отображений — следующая:

LET THE á  ñ TAKE EACH á  ñ TO á  ñ

 

Здесь первый пробел заполняется названием отображения (функции), а последующие — прообразом (аргументом) и образом (значением функции), например,

Let the function  f  take each point x to x2.

Let the homomorphism φn take each element g Î G to the conjugate element φn(g) = h–1gh.

Let the projection p3 take each point (x, y, z) to (x, y, 0).

Если мы хотим подчеркнуть, что здесь даётся обозначение для вводимого отображения, можно пользоваться следующими вариантами предыдущего оборота:

LET áтерминñ BE THE áобъектñ THAT
TAKES EACH
áтерминñ TO áтерминñ

 

Let p3 be the projection that takes each point (x, y, z) to (x, y, 0).

 

DENOTE BY áтерминñ THE áобъектñ THAT
TAKES EACH
áтерминñ ТО áтерминñ

 

Denote by p3 the projection that takes each point (x, y, z) to (x, y, 0).

Заметим, что последнее определение лучше выражается с помощью одного из общих штампов для определений (§ 21), например:

By p3: R3R2 denote the projection along the z-axis.

Если же мы описываем действие отображения (например, введённое раньше или вводимое по ходу дела), то удобна следующая конструкция:

THE áтерминñ TAKES áтерминñ TO áтерминñ

 

Например,

The projection along the z-axis takes the plane x = y to the main diagonal of the xy-plane.

The canonical homomorphism φ: GG/H takes each element g Î G to the corresponding coset gH Î G/H.

Обратите внимание, что глагольная форма takes (а также take) применяется не только к отдельным точкам, но и к множествам.

Заметим отдельно, что выражение при отображении переводится как under the map, так что говорят, например,

The image of X under the map p3 is p3(X).

The inverse image of an element of G/H under the canonical homomorphism GG/H is a coset.

Два других важных выражения с предлогами — это extention to и restriction to. Вот пример их использования:

BY áтерминñ DENOTE THE RESTRICTION OF
áтерминñ TO áтерминñ

 

By  f |A denote the restriction of  f  to the subset A Ì X.

 

LET áтерминñ BE THE EXTENSION OF áтерминñ TO áтермин ...ñ

 

Let  f  be the extension of  f  to Y É X by the identity on the set Y\X.

Обратите здесь внимание на использование предлогов of и by.

 

§27. Как описывать топологические и геометрические построения

 

Это, наверное, труднее всего. Разумеется, я не берусь обучить вас писать на том образном, но ясном языке, которым пользуются такие авторы, как Милнор, Берже или Кокстер. Читателю придётся сдерживать своё стремление к наглядным описаниям и писать формально и сухо. Начнём с описания конструкций, встречающихся в геометрии и геометрической топологии.

С этой целью мы перечислим ряд глаголов, описывающих те или иные геометрические действия, помещая в скобках подходящие к ним предлоги 12:

move, shift, bend, push (to, along, into, away from);

project (on, along);

embed (in, into, by);

map (to, onto, into);

restrict (to);

identify (with);

attach, glue, paste (to, along, together);

collapse (to, onto);

join (with, to);

remove (from);

put in general position (with respect to);

extend (to, by).

Эти глаголы можно использовать в повелительном наклонении (в начале фразы или после слов let us), а также в ing-овой форме (в начале фразы, с последующим переходом к продолжению за счёт оборота типа we obtain или we can assume that). Вот несколько примеров:

Move the variety V away from C along the trajectories of the vector field X.

Let us attach the handle Dk × Dn–k to the manifold W along the base Sk–1 × Dn–k Ì W.

Putting M in general position with respect to F, we can assume that dim (M Ç F) = 0.

Gluing together the neighborhoods Ui, we obtain the manifold M.

Значительную часть геометрических текстов составляет обсуждение различных отображений, но для этого хватает оборотов, приведённых в § 24 (см. также приложение I, пункт (G)).

Некоторой экономии места при описании отображений можно достичь, добавляя деепричастия к глаголу map (или глаголам, перечисленным в начале этого параграфа). Вот несколько таких деепричастий: continuously, diffeomorphically, smoothly, isometrically, analytically, birationally.

Примеры:

Extend the map Φ smoothly to all of  Rn.

The projection p maps M diffeomorphically onto N.

 

§28. Комментарии и ссылки

 

Я не рекомендую начинающим авторам пытаться вложить глубокий или тонкий смысл в комментарии, а советую ограничиваться для безопасности стандартными оборотами.

Для начала, вот несколько способов обойти доказательство за счёт комментария:

THE PROOF IS á  ñ

 

The proof is omitted.

The proof is trivial.

The proof is given in § 5.

The proof is found in [2].

 

THIS áссылкаñ WAS PROVED BY á  ñ

 

This lemma was proved by Smale (see&nb