Другие статьи

 

Операции с матрицами на C++.   Класс DMatrix

 


 

Ring bursting behavior en route to turbulence

in quasi two-dimensional Taylor-Couette flows

 

Кольцевой взрывной эффект

как промежуточная стадия при формировании турбулентности

в квази-двумерном потоке Куэтта-Тейлора

 

Sebastian Altmeyer, Younghae Do and Ying-Cheng Lai

(2015)

 

 

We investigate the quasi two-dimensional Taylor-Couette system in the regime where the radius ratio is close to unity - a transitional regime between three and two dimensions.

 

В данной работе мы рассматриваем квази-двумерную систему Куэтта – Тейлора, находящуюся в состоянии, когда отношение радиусов близко к единице, то есть в промежуточном качестве между трехмерным и двумерным.

 

By systematically increasing the Reynolds number we observe a number of standard transitions, such as one from the classical Taylor vortex flow (TVF) to wavy vortex flow (WVF), as well as the transition to fully developed turbulence.

 

Систематически увеличивая число Рейнольдса, мы отслеживаем стандартные переходы, такие, как переход от классического тейлоровского вихревого потока (TVF) к волновому режиму вихревого потока (WVF), а также переход к полностью развитой турбулентности.

 

Prior to the onset of turbulence we observe intermittent burst patterns of localized turbulent patches, confirming the experimentally observed pattern of very short wavelength bursts (VSWBs).

 

Непосредственно перед началом стадии турбулентности мы наблюдаем узоры с пульсирующими взрывами локализованной турбулентности, подтверждающие экспериментально полученную картинку для взрывов на ультракоротких волнах (VSWB).

 

A striking finding is that, for Reynolds number larger than the onset of VSWBs, a new type of intermittently bursting behaviors emerge: burst patterns of azimuthally closed rings of various orders.

 

Замечательный результат заключается в том, что при числе Рейнольдса, большем, чем соответствующее для VSWB, возникает новый тип пульсирующего взрывного поведения: структуры, образованные взрывами, имеют вид азимутально замкнутых колец различных порядков.

 

We call them ring-burst patterns, which surround the cylinder completely but remain localized and separated by non-turbulent mostly wavy structures in the axial direction.

 

Назовем их кольцевыми взрывными структурами, плотно окружающими цилиндр, но остающимися локализованными и, в осевом направлении, разделенными нетурбулентными (преимущественно - волновыми) структурами.

 

We use a number of quantitative measures, including the cross-flow energy, to characterize the ring-burst patterns and to distinguish them from the background flow.

 

Мы используем несколько количественных мер, в частности –  энергию поперечного течения, для оценки кольцевых взрывных структур и выделения их из основного потока.

 

The ring-burst patterns are interesting because it does not occur in either three- or two-dimensional Taylor-Couette flow: it occurs only in the transition, quasi two-dimensional regime of the system, a regime that is less studied but certainly deserves further attention so as to obtain deeper insights into turbulence.

 

Кольцевые взрывные структуры интересны тем, что они не встречаются в трех- и двумерных потоках Куэтта-Тейлора, зато их можно наблюдать в переходном, квази-двумерном состоянии системы, состоянии малоизученном, но, безусловно, требующем внимания для более глубокого осознания сути феномена турбулентности.

 

 

Введение

 

Characteristics of turbulence in three- and two-dimensional flows are typically quite distinct. For example, in three-dimension flows, the energy spectrum of fully-developed turbulence obeys the well-known Kolmogorov 1941 scaling law [1] of k-5/3, while in two dimensions the scaling [2, 3] is k-3. Although two-dimensional flow systems offer great advantages from the standpoint of computation and mathematical analysis as compared with three-dimensional flows, the former are not merely a kind of toy model of turbulence. In fact, two-dimensional turbulence is relevant to the dynamics of oceanic currents, origin of the ozone hole through mixing of chemical species in the polar stratosphere, the existence of polar vortex, strong eddy motions such as tropical cyclones, and other large-scale motions of planetary atmospheres [4, 5].

 

Характеристики турбулентности трех- и двумерных потоков достаточно просты. Например, для трехмерных потоков спектр энергии развитой турбулентности подчиняется хорошо известному степенному (k-5/3) закону Колмогорова от 1941 г., в то время как для двумерного случая [2, 3] зависимость пропорциональна k-3. Хотя системы с двумерным потоком имеют большое преимущество с точки зрения вычислений по сравнению с трехмерными, они не являются только лишь упрощенной моделью турбулентности. В самом деле, модели двумерной турбулентности соответствуют океаническим потокам, процессам образования озоновых дыр при смешивании химических веществ в полярной стратосфере, полярным вихрям, устойчивым вихрям вроде тропических циклонов и другим масштабным явлениям в земной атмосфере.

 

Turbulence is arguably one of the most difficult problems in science and engineering, and the vast literature on turbulence was mostly focused on three or two dimensions [6]. To gain new insights into turbulence, it is of interest to study the transitional regime between three and two dimensions. In such a regime, properties of both three- and two-dimensional flows are relevant, and one naturally wonders whether there are any unexpected features associated with, for instance, transition to turbulence [7, 8]. The purpose of this paper is to report a new phenomenon in a paradigmatic quasi-two-dimensional system: the Taylor-Couette flow [9] with gap between the inner and outer cylinders so narrow that the system is neither completely three-dimensional nor exactly two-dimensional. In fact, this regime has not been investigated systematically previously. The new type of intermittent dynamics occurs en route to turbulence as the Reynolds number is increased.

 

Турбулентность является, пожалуй, одной из труднейших проблем в науке; обширная литература по этой теме в основном сфокусирована на случаях двух или трех измерений [6]. Необходим новый подход, интересно исследовать переходные состояния между двумерными и трехмерными моделями. В этих состояниях проявляются свойства, характерные и для двумерного, и для трехмерного случая, и, что особенно удивляет, так это некоторые неожиданные явления, связанные, например, с переходом к турбулентности [7, 8]. Цель данной работы – рассказать о новом феномене квази-двумерной системы, где поток Куэтта-Тейлора [9] существует в зазоре между внешним и внутренним цилиндрами, достаточно узком, чтобы система не являлась ни вполне трехмерной, ни вполне двумерной. В самом деле, такой режим до сих пор не был достаточно тщательно исследован. Этот новый тип пульсирующей динамики встречается при зарождении турбулентности в результате увеличения числа Рейнольдса.

 

The Taylor-Couette system, a flow between two concentric rotating cylinders, has been a paradigm in the study of complex dynamical behaviors of fluid flows, especially turbulence [10-18]. The flow system can exhibit a large variety number of ordered and disordered behaviors in different parameter regimes. For cylinders of reasonable length, the effective dimensionality of the system is determined by a single parameter - the ratio between the radii of the two cylinders. If the ratio is markedly less than unity, the flow is three dimensional. As the ratio approaches unity, the flow becomes two dimensional.

Most previous studies focused on the setting where the radius ratio is below, say about 0.9, the so-called wide-gap regime [13], or when the ratio approaches unity so that the geometry is locally planar, resulting in an effectively two-dimensional Couette flow [19]. Here, we are interested in the narrow-gap case, where the radius ratio is close to unity but still deviates from it so that the flow is quasi two-dimensional. To be concrete, we fix the radius ratio to be 0:99 and, without loss of generality, restrict our study to the case where the outer cylinder is stationary. In fact, regardless of whether the outer cylinder is rotational or stationary, transition to turbulence can occur with increasing Reynolds number. In particular, for systems of counter-rotating cylinders, an early work [10] showed that transition to turbulence can be sudden as the Reynolds number is increased through a critical point. For fixed outer cylinder, the transition from laminar flow to turbulence can occur through a sequence of instabilities of distinct nature [14, 20].

For Taylor-Couette system of counter-rotating cylinders, spatially isolated flow patterns, the so-called localized patches, can emerge through the whole fluid domain and decay [13, 21]. Depending on the parameters, the localized patches can be laminar or more complex patterns such as inter-penetrating spirals. In the wide-gap regime (three-dimensional flow), numerical simulations [22] revealed the existence of so-called Goertler vortices [23], small scale azimuthal vortices that can cause streaky structures and form herringbone-like patterns near the wall. Localized turbulent behaviors can arise when the Goertler vortices concentrate and grow at the outflow boundaries of the Taylor vortex cell [22].

For narrow gap (quasi two-dimensional) flows, there was experimental evidence of the phenomenon of very short wavelength bursts (VSWBs) [14]. One contribution of our work is clear computational demonstration of VSWBs. Remarkably, we uncover a class of solutions in quasi two-dimensional Taylor-Couette flow en route to turbulence. These are localized, irregular, intermittently bursting, azimuthally closed patterns that manifest themselves as various rings located along the axial direction. For convenience, we refer to the states as “ring-bursts”. The number of distinct rings can vary depending on the parameter setting but their extents in the axial direction are similar. The ring bursts can occur on some background flow that is not necessarily regular. For example, in typical settings the background can be wavy vortex flows (WVFs) with relatively high azimuthal wave numbers. Because of the coexistence of complex flow patterns, to single out ring bursts is challenging, a task that we accomplish by developing an effective mode separation method based on the cross-flow energy. We also find that ring bursts are precursors to turbulence, signifying a new route to turbulence uniquely for quasi two-dimensional Taylor-Couette flows. To our knowledge, there was no prior report of ring bursts patterns or likes. This is mainly due to the fact that the quasi two-dimensional regime is a less explored territory in the giant landscape of turbulence research. It would be interesting to identify precursors to turbulence in quasi two-dimensional flow systems in general.

In Sec. II, we outline our numerical method and describe a number of regular states in quasi two-dimensional Taylor-Couette flows. In Sec. III, we present our main results: numerical confirmation of experimentally observed VSWBs and more importantly, identification and quantitative confirmation of intermittent ring bursts as precursors to turbulence. In Sec. IV, we present conclusions and discussions.

 

 

ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ